2012-新课标卷理-18 解-离散型随机变量

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列、期望与方差，以及实际决策。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)）

某花店每天以每枝 $5$ 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 $10$ 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

(1) 若花店一天购进 $16$ 枝玫瑰花，求当天的利润 $y$（单位：元）关于当天需求量 $n$（单位：枝，$n\in \mathbb{N}$）的函数解析式；

(2) 花店记录了 $100$ 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

| 日需求量 $n$ | $14$ | $15$ | $16$ | $17$ | $18$ | $19$ | $20$ |

| 频数 | $10$ | $20$ | $16$ | $16$ | $15$ | $13$ | $10$ |

以 $100$ 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

①若花店一天购进 $16$ 枝玫瑰花，$X$ 表示当天的利润（单位：元），求 $X$ 的分布列、数学期望及方差；

②若花店计划一天购进 $16$ 枝或 $17$ 枝玫瑰花，你认为应购进 $16$ 枝还是 $17$ 枝？请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. (1) 分 $n⩽16$ 与 $n>16$ 讨论利润函数。

2. (2)①求 $X$ 分布列、期望、方差；②比较购进 $16$ 与 $17$ 枝的期望利润。

✅【答案】

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(1) $y=\{\begin{array}{ll}10n-80,& n⩽16\\ 80,& n>16\end{array}$

(2) ①分布列：$P(X=60)=\frac{1}{10}$，$P(X=70)=\frac{1}{5}$，$P(X=80)=\frac{7}{10}$；$E(X)=76$，$D(X)=44$

②应购进 $17$ 枝（期望利润 $76.4$ 元大于 $76$ 元）

✍【详细解析】

Abstract

(1) $n⩽16$：$y=10n-80$；$n>16$：$y=80$。

(2)①购进 $16$ 枝：$X=10n-80$（$n⩽16$）或 $80$（$n>16$）。

$P(X=60)=\frac{10}{100}$，$P(X=70)=\frac{20}{100}$，$P(X=80)=\frac{70}{100}$。

$E(X)=60\times \frac{1}{10}+70\times \frac{1}{5}+80\times \frac{7}{10}=76$，$D(X)=44$。

②购进 $17$ 枝：期望利润 $=76.4$ 元 $>76$ 元，故应购进 $17$ 枝。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：离散型随机变量

核心方法：分布列与期望方差

避坑指南：统计决策

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于概率统计的应用

结论推广：可推广到进货决策、保险定价

方法推广：比较期望值作决策

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-20 解-相互独立事件的概率

• 2005-全国卷II理-19 解-离散型随机变量的概率分布

• 2005-全国卷III理-15 填-点到直线的距离公式