2012-新课标卷理-20 解-抛物线的性质

本题导读

本题考查抛物线的焦点、准线与圆、直线的综合，以及距离比。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)）

设抛物线 $C:x^2=2py(p>0)$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$，$A$ 为 $C$ 上一点，已知以 $F$ 为圆心，$FA$ 为半径的圆 $F$ 交 $l$ 于 $B,D$ 两点.

(1) 若 $\angle BFD=90^{\circ }$，$△ABD$ 的面积为 $4\sqrt{2}$，求 $p$ 的值及圆 $F$ 的方程；

(2) 若 $A,B,F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点，求坐标原点到 $m,n$ 距离的比值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 由 $\angle BFD=90^{\circ }$ 与面积求 $p$。

2. (2) 由 $A,B,F$ 共线确定 $m$，再求 $n$ 与距离比。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $p=2$，圆 $F$ 的方程为 $x^2+(y-1{)}^2=8$

(2) 距离的比值为 $3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $F(0,\frac{p}{2})$，准线 $y=-\frac{p}{2}$。$\angle BFD=90^{\circ }$，$B,D$ 为 $(\pm p,-\frac{p}{2})$，$|FA|=p\sqrt{2}$。

$A$ 在抛物线上，$△ABD$ 面积 $=\frac{1}{2}\cdot 2p\cdot (y_A+\frac{p}{2})=4\sqrt{2}$，联立解得 $p=2$。

圆 $F$ 方程 $x^2+(y-1{)}^2=8$。

(2) $A,B,F$ 共线，$m$ 为过 $F$ 的某直线，$n\parallel m$ 且与 $C$ 相切，

由几何关系得原点到 $m,n$ 距离比为 $3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的焦点与准线

核心方法：直线与抛物线的位置关系

避坑指南：距离的比值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于抛物线综合

结论推广：可推广到直线与抛物线相切的问题

方法推广：抛物线定义 $|PF|=$ 到准线距离

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-15 单-抛物线的定义与焦半径公式

• 2005-全国卷III理-21 解-抛物线的几何性质与焦点

• 2005-天津卷理-21 解-抛物线的标准方程与几何性质