2012-新课标卷理-24 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法，以及解集包含的参数问题。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)）

已知函数 $f(x)=|x+a|+|x-2|$.

(1) 当 $a=-3$ 时，求不等式 $f(x)⩾3$ 的解集；

(2) 若 $f(x)⩽|x-4|$ 的解集包含 $[1,2]$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. (1) $a=-3$ 时分类讨论去绝对值解不等式。

2. (2) 由 $[1,2]$ 包含于解集求 $a$。

✅【答案】

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(1) $(-\infty ,1]\cup [4,+\infty )$

(2) $[-3,0]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $a=-3$：$f(x)=|x-3|+|x-2|⩾3$。

$x<2$：$5-2x⩾3\Rightarrow x⩽1$；$2⩽x⩽3$：$1⩾3$ 无解；$x>3$：$2x-5⩾3\Rightarrow x⩾4$。

解集 $(-\infty ,1]\cup [4,+\infty )$。

(2) $f(x)⩽|x-4|$ 解集包含 $[1,2]$，即 $x\in [1,2]$ 时 $|x+a|+|x-2|⩽|x-4|$。

$x\in [1,2]$：$|x-2|=2-x$，$|x-4|=4-x$，故 $|x+a|⩽2$，

对 $x\in [1,2]$ 恒成立，即 $-2-x⩽a⩽2-x$，得 $-3⩽a⩽0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式

核心方法：分类讨论

避坑指南：解集包含问题

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于绝对值不等式

结论推广：可推广到含参绝对值不等式

方法推广：去绝对值要分段讨论零点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-14 单-绝对值不等式的解法

• 2005-全国卷II理-17 解-指数不等式的解法

• 2005-天津卷理-01 单-绝对值不等式的解法