2012-江苏卷-09 填-向量数量积坐标运算

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量坐标运算。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB=\sqrt{2}$，$BC=2$，点 $E$ 为 $BC$ 的中点，点 $F$ 在边 $CD$ 上，若 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AF}=\sqrt{2}$，则 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BF}$ 的值是　　.

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🔍【思路分析】

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建系得 $F(1,2)$，$\overrightarrow{AE}=(\sqrt{2},1)$，$\overrightarrow{BF}=(1-\sqrt{2},2)$，数量积为 $\sqrt{2}$。

✅【答案】

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$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

建立直角坐标系，取 $A=(0,0)$，$B=(\sqrt{2},0)$，$C=(\sqrt{2},2)$，$D=(0,2)$。因为 $E$ 是 $BC$ 的中点，所以 $E=(\sqrt{2},1)$。

设 $F=(t,2)$，其中 $0⩽t⩽\sqrt{2}$。则 $\overrightarrow{AB}=(\sqrt{2},0)$，$\overrightarrow{AF}=(t,2)$，由题设 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AF}=\sqrt{2}t=\sqrt{2}$，得 $t=1$，所以 $F=(1,2)$。

此时 $\overrightarrow{AE}=(\sqrt{2},1)$，$\overrightarrow{BF}=(1-\sqrt{2},2)$，从而 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BF}=\sqrt{2}(1-\sqrt{2})+2=\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：矩形建系求向量坐标；数量积的坐标公式

核心方法：由 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AF}$ 的横分量先定 $F$ 的横坐标，再算目标数量积

避坑指南：$\overrightarrow{BF}$ 的横分量是 $1-\sqrt{2}$（负数），$F$ 的横坐标 $1$ 由条件解出而不是中点；漏乘横分量或把 $F$ 取成 $CD$ 中点都会算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：矩形中向量数量积坐标运算题，与 2012 年辽宁卷文第 1 题、2012 年新课标Ⅰ文第 15 题同族。

结论推广：涉及矩形、正方形中定比分点的数量积问题，建系坐标化是最稳路径；垂直于坐标轴的向量数量积只含一个分量。

方法推广：平面几何图形中的向量运算：先看能否建系（顶点坐标简单优先），把条件翻译成分量方程，再代数量积公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-辽宁卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2012-新课标卷文-15 填-向量数量积求模
• 2012-浙江卷文-15 填-向量数量积中线模型