2012-江西卷文-09 单-降幂与对称求值

本题导读

本题考查二倍角降幂公式，以及函数型对称求值。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(文)） 已知 $f(x)={\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.若 $a=f(\lg 5)$，$b=f\left(\lg \frac{1}{5}\right)$，则()

A. $a+b=0$　　　　　B. $a-b=0$　　　　　C. $a+b=1$　　　　　D. $a-b=1$

🔍【思路分析】

破题导航

$f(x)=\frac{1+\sin 2x}{2}$，则 $f(t)+f(-t)=\frac{1+\sin 2t}{2}+\frac{1-\sin 2t}{2}=1$，$a+b=f(\lg 5)+f(-\lg 5)=1$，故选 C

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

由降幂公式 ${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$，取 $\theta =x+\frac{\pi }{4}$：

$f(x)=\frac{1-\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)}{2}=\frac{1+\sin 2x}{2}$。

于是对任意 $t$，$f(t)+f(-t)=\frac{1+\sin 2t}{2}+\frac{1-\sin 2t}{2}=1$。

而 $\lg \frac{1}{5}=-\lg 5$，所以 $a+b=f(\lg 5)+f(-\lg 5)=1$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角与诱导公式的综合降幂；对数的运算性质 $\lg \frac{1}{5}=-\lg 5$

核心方法：先降幂把 $f$ 化成 $\frac{1+\sin 2x}{2}$，发现”自变量相反、函数值之和为定值 $1$“的结构

避坑指南：不降幂硬算 $f(\lg 5)$ 会陷入无理数的泥潭；关键结构是 $\sin 2x$ 为奇函数，从而 $f(x)$ 关于 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ 中心对称。注意 $b$ 的自变量是 $\lg \frac{1}{5}=-\lg 5$，符号取反后再利用对称性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角降幂与对称性求值题，与 2013 年四川卷文第 14 题、2013 年上海卷文第 9 题同族。

结论推广：${\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1+\sin 2x}{2}$；一般地，若 $f(x)=g(x)+c$（$g$ 为奇函数），则 $f(t)+f(-t)=2c$。

方法推广：求 $f(a)+f(-a)$ 型值，先把 $f$ 拆成”奇函数 + 常数”，常数 $\times 2$ 即答案，避免代入具体值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-14 填-二倍角求值
• 2012-辽宁卷文-06 单-同角三角函数求值
• 2013-大纲卷文-09 单-三角函数图象