2012-江西卷理-14 填-三角恒等

本题导读

本题考查程序框图与算法流程，以及循环结构与条件分支结构。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)） 如图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 初始化状态：进入算法时，累加变量 $T=0$，计数变量 $k=1$。
2. 分析判断框的数学实质： 判断条件为 $\sin \frac{k\pi }{2}>\sin \frac{(k-1)\pi }{2}$。由于正弦函数在各象限边界的取值具有以 4 为周期的特征（ $0,1,0,-1$ ），该不等式本质上在定性判断正弦序列在相邻两点间是否处于“严格递增”状态：

• 若当前项大于前一项（递增），则走向“是”分支，将赋值 $a=1$；
• 若当前项不大于前一项（不递增，即减小或相等），则走向“否”分支，将赋值 $a=0$。

3. 跟踪循环变量 $k$ 的生命周期： 每次循环末尾执行 $T=T+a$ 以及 $k=k+1$。退出循环的终止约束条件为 $k<6$ 的否定分支（即当 $k\ge 6$ 时跳出循环并输出 $T$ ）。
4. 表格化迭代演进：顺次模拟 $k=1,2,3,4,5$ 的五次完整循环体逻辑。

✅【答案】

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3

✍【详细解析】

Abstract

根据程序框图的流程，我们对每一步的循环执行进行数据跟踪记录：

初始状态 $T=0,k=1$

第一轮循环 ($k=1$)

1. 条件判断：将 $k=1$ 代入判断框： $\sin \frac{\pi }{2}>\sin 0⟹1>0$ 该不等式成立，执行“是”分支，赋值： $a=1$。

2. 变量累加： $T=T+a=0+1=1$。

3. 计数更新： $k=k+1=2$。

4. 末尾终止检测：判断 $k<6⟺2<6$ 成立，执行“是”分支，重新返回上方循环入口。

第二轮循环 ($k=2$)

1. 条件判断：将 $k=2$ 代入判断框： $\sin \frac{2\pi }{2}>\sin \frac{\pi }{2}⟺\sin \pi >\sin \frac{\pi }{2}⟹0>1$ 该不等式不成立，执行“否”分支，赋值： $a=0$。

2. 变量累加： $T=T+a=1+0=1$。

3. 计数更新： $k=k+1=3$。

4. 末尾终止检测：判断 $k<6⟺3<6$ 成立，执行“是”分支，返回入口。

第三轮循环 ($k=3$)

1. 条件判断：将 $k=3$ 代入判断框： $\sin \frac{3\pi }{2}>\sin \frac{2\pi }{2}⟺\sin \frac{3\pi }{2}>\sin \pi ⟹-1>0$ 该不等式不成立，执行“否”分支，赋值： $a=0$。

2. 变量累加： $T=T+a=1+0=1$。

3. 计数更新： $k=k+1=4$。

4. 末尾终止检测：判断 $k<6⟺4<6$ 成立，执行“是”分支，返回入口。

第四轮循环 ($k=4$)

1. 条件判断：将 $k=4$ 代入判断框： $\sin \frac{4\pi }{2}>\sin \frac{3\pi }{2}⟺\sin 2\pi >\sin \frac{3\pi }{2}⟹0>-1$ 该不等式成立，执行“是”分支，赋值： $a=1$。

2. 变量累加： $T=T+a=1+1=2$。

3. 计数更新： $k=k+1=5$。

4. 末尾终止检测：判断 $k<6⟺5<6$ 成立，执行“是”分支，返回入口。

第五轮循环 ($k=5$)

1. 条件判断：将 $k=5$ 代入判断框： $\sin \frac{5\pi }{2}>\sin \frac{4\pi }{2}⟺\sin \frac{\pi }{2}>\sin 2\pi ⟹1>0$ 该不等式成立，执行“是”分支，赋值： $a=1$。

2. 变量累加： $T=T+a=2+1=3$。

3. 计数更新： $k=k+1=6$。

4. 末尾终止检测：判断 $k<6⟺6<6$ 不成立，流程执行“否”分支，跳出整个循环。

退出与输出 程序行进至输出框，直接输出当前的累加器结果值 $T$。 此时 $T=3$。

故答案为：3

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：循环结构的边界退出准则（直到型/当型检测）、特殊象限角正弦大小对比。
2. 核心方法：表格顺次执行跟踪法。
3. 避坑指南：

• 极易在 $k=3$ 的正弦值比较上翻车。误认为 $-1>0$ 成立，或把 $\sin \frac{3\pi }{2}$ 的结果记错。需要牢记特殊角的轴线取值。
• 关注退出临界点。当 $k=5$ 运行完毕后， $k$ 自增变为 $6$，在最底部的判断框 $k<6$ 判定为假（否），因而第 6 次循环体并没有执行，确保 $T$ 的累加次数不多不少正好 5 次。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材必修三第一章《算法初步》中关于程序框图执行的典型高考中档填空题。
2. 结论推广：该算法在数字信号处理中被称为一阶前向差分器（First-Order Forward Difference）。由于 $a$ 的取值依赖于正弦波形的升降性，本质上是在统计序列 $\sin \frac{n\pi }{2}$ 在前 5 个跨度内的单调增区间个数。由于正弦函数在四象限内“一升、二降、三降、四升”，一个周期内有一半的区间在单调递增，通过这种宏观周期波形判定，也可以快速辅助校验最终的计数项总和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质 类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-06 单-程序框图

• 2008-山东卷文-14 填-程序框图循环输出

• 2008-广东卷文-13 填-程序框图整除输出