2012-江西卷理-17 解-数列求和

本题导读

本题考查二次函数的最值与离散性。核心在于轴对称卡位法、差分公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=-\frac{1}{2}{n}^2+kn$ （其中 $k\in {\mathbf{N}}_{+}$），且 $S_n$ 的最大值为 8.

(1)确定常数 $k$，并求 $a_n$；

(2)求数列 $\left\{\frac{9-2a_n}{2^n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问最值破题： $S_n$ 是关于正整数 $n$ 的二次函数。对其进行配方： $S_n=-\frac{1}{2}(n-k{)}^2+\frac{1}{2}{k}^2$。其对称轴为 $n=k$。因为已知 $k\in {\mathbf{N}}_{+}$，即对称轴恰好落在正整数点上，所以当 $n=k$ 时， $S_n$ 取得离素几何最大值。令最大值等于 8，可直接锁定 $k$。
2. 求通项：利用经典公式 $a_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2)$ 计算，并单独验证 $n=1$ 的情况进行合并。
3. 第二问求和识别：将 $a_n$ 代入目标通项中，设新数列为 $b_n=\frac{9-2a_n}{2^n}=\frac{2n}{2^n}=\frac{n}{2^{n-1}}$。
4. 方法选择：观察通项 $b_n=n\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$，是由等差数列 $\{n\}$ 与等比数列 $\left\{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\right\}$ 对应项相乘构成的。此类模型统一采用错位相减法求解。同时乘以等比数列的公比 $\frac{1}{2}$，将两个级数错开一位相减，转化为等比数列求和。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

（1）确定常数 $k$，并求 $a_n$

对 $S_n=-\frac{1}{2}{n}^2+kn$ 进行配方变形： $S_n=-\frac{1}{2}(n^2-2kn)=-\frac{1}{2}(n-k{)}^2+\frac{1}{2}{k}^2$

此二次函数图象开口向下，其对称轴为直线 $n=k$。 因为 题目已知 $k\in {\mathbf{N}}_{+}$，即对称轴恰好为正整数， 所以 当 $n=k$ 时，数列的前 $n$ 项和 $S_n$ 取得最大值，即： $S_{\text{max}}=S_k=\frac{1}{2}{k}^2$

根据题意，最大值为 8，列出方程： $\frac{1}{2}{k}^2=8⟹k^2=16$ 因为 $k\in {\mathbf{N}}_{+}$，解得： $k=4$

将其反代回原式，可得前 $n$ 项和的精确解析式为： $S_n=-\frac{1}{2}{n}^2+4n$。

接下来求解通项 $a_n$：

• 当 $n=1$ 时： $a_1=S_1=-\frac{1}{2}\times 1^2+4\times 1=\frac{7}{2}$
• 当 $n\ge 2$ 时： $a_n=S_n-S_{n-1}=\left(-\frac{1}{2}{n}^2+4n\right)-\left[-\frac{1}{2}(n-1{)}^2+4(n-1)\right]$ $a_n=-\frac{1}{2}{n}^2+4n-\left(-\frac{1}{2}{n}^2+n-\frac{1}{2}+4n-4\right)=\frac{9}{2}-n$

当 $n=1$ 时，代入 $\frac{9}{2}-1=\frac{7}{2}$，恰好符合上式。 所以，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=\frac{9}{2}-n$

（2）求数列的前 $n$ 项和 $T_n$

令新数列为 $b_n=\frac{9-2a_n}{2^n}$。将（1）中求得的 $a_n$ 代入化简： $b_n=\frac{9-2\left(\frac{9}{2}-n\right)}{2^n}=\frac{9-(9-2n)}{2^n}=\frac{2n}{2^n}=\frac{n}{2^{n-1}}$

目标是求解 $T_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$，展开各项： $T_n=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\cdots +\frac{n-1}{2^{n-2}}+\frac{n}{2^{n-1}}\text{(1)}$

此为等差乘等比组合级数，公比为 $\frac{1}{2}$。将①式两边同时乘以 $\frac{1}{2}$，将每一项向后错开一位对齐写出： $\frac{1}{2}{T}_n=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\cdots +\frac{n-1}{2^{n-1}}+\frac{n}{2^n}\text{(2)}$

利用错位相减，用①式减去②式： $T_n-\frac{1}{2}{T}_n=1+\left(\frac{2}{2}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{3}{2^2}-\frac{2}{2^2}\right)+\cdots +\left(\frac{n}{2^{n-1}}-\frac{n-1}{2^{n-1}}\right)-\frac{n}{2^n}$ $\frac{1}{2}{T}_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^n}$

观察中间部分，从第一项 $1$ 到 $\frac{1}{2^{n-1}}$ 构成一个项数为 $n$、首项为 1、公比为 $\frac{1}{2}$ 的标准等比数列。运用等比数列求和公式： $\frac{1}{2}{T}_n=\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{2^n}=2\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right]-\frac{n}{2^n}$ $\frac{1}{2}{T}_n=2-\frac{2}{2^n}-\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$

方程两边同时乘以 2，解得最终前 $n$ 项和为： $T_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$

故答案为： （1） $k=4,a_n=\frac{9}{2}-n$； （2） $T_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散二次函数最点的顶点卡位逻辑、错位相减法的两端项处理。
2. 核心方法：错位相减法标准模板。
3. 避坑指南：

• 第一问在使用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 时，千万不能漏掉对 $n=1$ 的首项单独检验步骤。虽然大多数高考题设计为可以合并，但不检验属于逻辑残缺，在解答题中会被扣分。
• 第二问错位相减两端极易出错。相减后，末尾孤立留出的最后一项 $-\frac{n}{2^n}$ 必须带有负号。在利用等比求和公式时，数清等比数列的项数（本题为 $n$ 项）是防范算错的重中之重。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《数列》中关于等差等比混合求和的高考传统中档压轴大题。
2. 结论推广：在组合分析中，等差乘等比级数存在固定的代数结构公式（快捷公式）：若通项 $b_n=(An+B)\cdot q^{n-1}$，其前 $n$ 项和必然满足统一特征形如 $T_n=\frac{An+B}{1-q}\cdot q^n-\frac{A\cdot q}{(1-q{)}^2}\cdot q^n+\text{常数}$。直接针对本题通项 $b_n=n\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ 使用积分求导逆推算速法，可直接在草稿纸上校验出最终项必为 $4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$，以此确保解答题答案的百分之百正确。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型 类题演练 (Links)

• 2021-天津卷-19 解-数列综合

• 2008-广东卷理-21

• 2008-湖南卷理-18