2012-浙江卷理-06 单-组合计数

本题导读

本题考查组合计数在奇偶性条件下的应用。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(理)）

若从 $1,2,3,\cdots ,9$ 这 $9$ 个整数中同时取 $4$ 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()

A. $60$ 种

B. $63$ 种

C. $65$ 种

D. $66$ 种

🔍【思路分析】

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1. $1-9$ 中偶数 $4$ 个（$2,4,6,8$），奇数 $5$ 个。

2. 和为偶数：全偶或两偶两奇或全奇（$4$ 个奇数）。

3. 分类计数求和。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

偶数 $4$ 个：$2,4,6,8$；奇数 $5$ 个：$1,3,5,7,9$。

和为偶数：①$4$ 偶 ${\mathrm{C}}_4^4=1$；②$2$ 偶 $2$ 奇 ${\mathrm{C}}_4^2{\mathrm{C}}_5^2=60$；③$4$ 奇 ${\mathrm{C}}_5^4=5$。

总计 $1+60+5=66$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：组合计数

核心方法：奇偶性分析

避坑指南：分类加法原理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于排列组合

结论推广：可推广到含奇偶约束的计数

方法推广：奇+奇=偶，偶+偶=偶

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2005-山东卷理-18 解-古典概型与组合计数

• 2006-上海卷理-09 填-排列与组合计数原理

• 2006-四川卷理-12 单-余数分组特性