2012-浙江卷理-08 单-双曲线的离心率

本题导读

本题考查双曲线的离心率与几何关系的综合。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(理)）

如图，$F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的左、右焦点，$B$ 是虚轴的端点，直线 $F_{1}B$ 与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $P,Q$ 两点，线段 $PQ$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于点 $M$.若 $|M{F}_2|=|F_1{F}_2|$，则 $C$ 的离心率是()

A. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

C. $\sqrt{2}$

D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 设 $B(0,b)$，$F_1(-c,0)$，写出直线 $F_{1}B$ 方程。

2. 与渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 求交点 $P,Q$。

3. 由 $|M{F}_2|=|F_1{F}_2|$ 求离心率。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$B(0,b)$，$F_1(-c,0)$，直线 $F_{1}B:y=\frac{b}{c}(x+c)$。

与渐近线 $y=\frac{b}{a}x$、$y=-\frac{b}{a}x$ 分别交于 $P,Q$，求 $PQ$ 中点及垂直平分线。

由 $|M{F}_2|=|F_1{F}_2|=2c$ 及几何关系解得 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的离心率

核心方法：双曲线的渐近线

避坑指南：几何关系

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于双曲线综合

结论推广：可推广到椭圆、抛物线的离心率问题

方法推广：离心率 $e=\frac{c}{a}$，渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷理-05 单-抛物线的标准方程与焦点坐标

• 2005-福建卷理-10 单-双曲线的定义与几何性质

• 2006-全国卷II理-09 单-双曲线的离心率