2012-浙江卷理-17 填-不等式恒成立

本题导读

本题考查不等式恒成立问题，以及分类讨论。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(理)）

设 $a\in \mathbb{R}$，若 $x>0$ 时均有 $[(a-1)x-1](x^2-ax-1)⩾0$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $[(a-1)x-1](x^2-ax-1)⩾0$ 恒成立的条件。

2. 讨论因式的零点与符号。

3. 求 $a$。

✅【答案】

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$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

当 $x>0$ 时，$(a-1)x-1$ 与 $x^2-ax-1$ 同号（或至少一个为 0）。

令 $(a-1)x-1=0$ 得 $x=\frac{1}{a-1}$，$x^2-ax-1=0$ 得 $x=\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}$。

两零点重合时恒成立：$\frac{1}{a-1}=\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}$，解得 $a=\frac{3}{2}$。

故答案为 $\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不等式恒成立

核心方法：分类讨论

避坑指南：因式分析

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于不等式恒成立

结论推广：可推广到含参恒成立问题

方法推广：两因式同号或零点重合

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2005-山东卷理-19 解-导数在研究函数极值中的应用

• 2005-辽宁卷-07 单-新定义运算

• 2006-上海卷理-12 填-函数全局最小值的求解