2012-浙江卷理-18 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理、余弦定理与三角形面积，以及边角互化。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(理)）

在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$.已知 $\cos A=\frac{2}{3}$，$\sin B=\sqrt{5}\cos C$.

(1) 求 $\tan C$ 的值；

(2) 若 $a=\sqrt{2}$，求 $△ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

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1. 由 $\sin B=\sqrt{5}\cos C$ 与 $A+B+C=\pi$ 求 $\tan C$。

2. 由 $a=\sqrt{2}$ 求面积。

✅【答案】

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(1) $\tan C=\sqrt{5}$

(2) $\frac{\sqrt{5}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $\sin B=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C=\sqrt{5}\cos C$。

$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，代入得 $\frac{\sqrt{5}}{3}\cos C+\frac{2}{3}\sin C=\sqrt{5}\cos C$，

$\frac{2}{3}\sin C=\frac{2\sqrt{5}}{3}\cos C\Rightarrow \tan C=\sqrt{5}$。

(2) 由正弦定理求 $b,c$，面积 $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{\sqrt{5}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理

核心方法：余弦定理

避坑指南：三角形面积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于解三角形

结论推广：可推广到边角关系的综合

方法推广：$\sin B=\sin (A+C)$ 是边角互化的关键

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-09 填-余弦定理标准式

• 2005-上海卷理-17 解-异面直线所成的角

• 2005-全国卷III理-19 解-正弦定理与余弦定理