2012-浙江卷理-19 解-分布列与期望

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列与期望（超几何分布）。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(理)）

已知箱中装有 $4$ 个白球和 $5$ 个黑球，且规定：取出一个白球得 $2$ 分，取出一个黑球得 $1$ 分.现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）$3$ 个球，记随机变量 $X$ 为取出此 $3$ 球所得分数之和.

(1) 求 $X$ 的分布列；

(2) 求 $X$ 的数学期望 $E(X)$.

🔍【思路分析】

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1. $X$ 为取 $3$ 球得分和，取值 $3,4,5,6$。

2. 用组合数求各取值的概率。

3. 求期望。

✅【答案】

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(1) $P(X=3)=\frac{5}{42}$，$P(X=4)=\frac{10}{21}$，$P(X=5)=\frac{5}{14}$，$P(X=6)=\frac{1}{21}$

(2) $E(X)=\frac{13}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

$X$ 取值：$3$（$3$ 黑）、$4$（$2$ 黑 $1$ 白）、$5$（$1$ 黑 $2$ 白）、$6$（$3$ 白）。

$P(X=3)=\frac{{\mathrm{C}}_5^3}{{\mathrm{C}}_9^3}=\frac{5}{42}$，$P(X=4)=\frac{{\mathrm{C}}_5^2{\mathrm{C}}_4^1}{{\mathrm{C}}_9^3}=\frac{10}{21}$，

$P(X=5)=\frac{{\mathrm{C}}_5^1{\mathrm{C}}_4^2}{{\mathrm{C}}_9^3}=\frac{5}{14}$，$P(X=6)=\frac{{\mathrm{C}}_4^3}{{\mathrm{C}}_9^3}=\frac{1}{21}$。

$E(X)=3\cdot \frac{5}{42}+4\cdot \frac{10}{21}+5\cdot \frac{5}{14}+6\cdot \frac{1}{21}=\frac{13}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：离散型随机变量

核心方法：分布列

避坑指南：数学期望

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于超几何分布

结论推广：可推广到放回、不放回的取球

方法推广：$E(X)=\sum x_i{p}_i$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-20 解-相互独立事件的概率

• 2005-全国卷II理-19 解-离散型随机变量的概率分布

• 2005-全国卷III理-15 填-点到直线的距离公式