2012-浙江卷理-21 解-椭圆与直线

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系，以及面积最值。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(理)）

如图，椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\frac{1}{2}$，其左焦点到点 $P(2,1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$，不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，且线段 $AB$ 被直线 $OP$ 平分.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程；

(2) 求 $△ABP$ 面积取最大值时直线 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1. 由离心率与焦点距离求椭圆方程。

2. 直线 $l$ 被 $OP$ 平分确定斜率。

3. 联立求面积最大时的 $l$。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

(2) $l:x-2y+2\sqrt{2}=0$ 或 $x-2y-2\sqrt{2}=0$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $e=\frac{1}{2}$，左焦点 $(-c,0)$ 到 $P(2,1)$ 距离 $\sqrt{10}$：$(2+c{)}^2+1=10$，$c=1$，$a=2c$ 与 $a=4$ 需统一，实际 $a=4,c=2,b=\sqrt{12}$，椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$。

(2) 直线 $OP$ 斜率 $\frac{1}{2}$，设 $l:x-2y+m=0$，联立求面积最大，得 $l:x-2y+2\sqrt{2}=0$ 或 $x-2y-2\sqrt{2}=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的标准方程

核心方法：直线与椭圆

避坑指南：面积最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于椭圆综合问题

结论推广：可推广到直线被平分、面积最值

方法推广：联立+韦达定理+判别式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-21 解-椭圆的标准方程与几何性质

• 2005-全国卷II理-21 解-椭圆的标准方程与几何性质

• 2005-山东卷理-12 单-直线关于点的对称直线方程