2012-湖北卷文-10 单-扇形阴影几何概型

本题导读

本题考查几何概型，以及扇形与半圆的组合图形面积。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)） 如图，在圆心角为直角的扇形 $OAB$ 中，分别以 $OA$，$OB$ 为直径作两个半圆. 在扇形 $OAB$ 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()

!

A. $\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi }$　　　　　　B. $\frac{1}{\pi }$　　　　　　C. $1-\frac{2}{\pi }$　　　　　　D. $\frac{2}{\pi }$

🔍【思路分析】

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阴影由两块对称区域组成，设半径 $2a$ 可算得阴影面积为 $\frac{a^2}{2}(\pi -2)$，概率 $=1-\frac{2}{\pi }$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

不妨设扇形半径 $OA=OB=2a$，记两块白色区域面积为 $S_1$，$S_2$，两块阴影区域面积为 $S_3$，$S_4$（由对称性 $S_1=S_2$，$S_3=S_4$）。

① $S_1+S_2+S_3+S_4=S_{\text{扇形}OAB}=\frac{1}{4}\pi (2a{)}^2=\pi a^2$；

② $S_1+S_3$ 与 $S_2+S_3$ 恰好是以 $OA$、$OB$ 为直径的两个半圆，其和为一个半径为 $a$ 的圆：$S_1+S_2+2S_3=\pi a^2$。

①－②得 $S_4=S_3$。而 $S_3$ 是两半圆的公共部分：两圆半径均为 $a$、圆心距为 $\sqrt{2}a$，公共部分面积为 $2\left[\frac{a^2}{2}\left(\frac{\pi }{2}-1\right)\right]=a^2\left(\frac{\pi }{2}-1\right)$。

故阴影总面积 $S_3+S_4=2a^2\left(\frac{\pi }{2}-1\right)=a^2(\pi -2)$。

由几何概型，所求概率 $P=\frac{a^2(\pi -2)}{\pi a^2}=1-\frac{2}{\pi }$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何概型（面积型）；半圆与扇形组合图形的容斥计算

核心方法：整体面积与半圆面积各列一个方程，两式相减确定阴影结构，再算两等圆公共部分

避坑指南：两半圆的公共部分（叶形）不要用”半圆减扇形”硬算：半径 $a$、圆心距 $\sqrt{2}a$ 的两等圆公共面积为 $a^2\left(\frac{\pi }{2}-1\right)$；概率最后一定写成 $1-\frac{2}{\pi }$ 的形式，与选项对照即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面积型几何概型与对称图形综合题，与 2013 年湖北卷文第 15 题、2013 年陕西卷理第 5 题同族。

结论推广：两半径为 $R$ 的等圆，圆心距为 $\sqrt{2}R$ 时，公共部分面积为 $R^2\left(\frac{\pi }{2}-1\right)$；圆心距为 $R$ 时为 $2R^2\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$。

方法推广：组合图形面积先”整体 + 局部”列方程再容斥相减；几何概型的分子分母用同一字母表示，长度量可约去。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型
• 07.01 弧度制与扇形度量

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷文-15 填-几何概型长度
• 2013-湖南卷文-09 单-几何概型概率
• 2013-陕西卷理-05 单-面积类几何概型