2012-湖北卷理-06 单-三选一

本题导读

本题考查柯西不等式，以及柯西不等式等号成立的充要条件。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(理)）

设 $a,b,c,x,y,z$ 是正数，且 $a^2+b^2+c^2=10$， $x^2+y^2+z^2=40$， $ax+by+cz=20$，则 $\frac{a+b+c}{x+y+z}=$()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 定量检验柯西不等式边界：观察题目给出的三个核心代数式。根据标准三维柯西不等式，恒有 $\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge (ax+by+cz{)}^2$。我们代入已知条件的数据进行乘积检验，看是否触发了等号成立的边界。

2. 提取分量比例关系：若左端乘积与右端平方完全相等，说明该模型处于取等号的临界状态。根据柯西不等式性质，此时两组向量的对应分量必须严格成比例，即 $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=t$。

3. 引入等比定理完成求解：设比例系数为 $t$。根据分式基本性质中的等比定理，分子和分母分别相加后的新分式 $\frac{a+b+c}{x+y+z}$ 的值仍然严格等于原比例系数 $t$。利用平方和条件求出 $t$ 的正实数解即为答案。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证柯西不等式等号成立条件

根据三维空间下的基本柯西不等式（或向量点积性质 $|\mathbf{\alpha }|\cdot |\mathbf{\beta }|\ge \mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }$），对于任意实数，恒满足如下代数放缩式：

$\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge (ax+by+cz{)}^2\text{(1)}$

我们将题目中已知的三个代数式数值分别代入①式的左端和右端，执行定量数值检验：

• 左端乘积值：

$\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=10\times 40=400$

• 右端平方值：

$(ax+by+cz{)}^2=20^2=400$

计算发现，左端数值（400）与右端数值（400）具有严格的相等关系，即：

$\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=(ax+by+cz{)}^2$

这表明，题目给出的这组特殊正数，恰好触发了柯西不等式等号成立的临界边界条件。

第二步：利用取等条件建立比例方程

根据柯西不等式取等号的充要条件，当且仅当两组对应的分量成几何等比比例时，等号才能成立。

因为已知 $a,b,c,x,y,z$ 均为正数，故可设其共同的比例系数为 $t(t>0)$：

$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=t\text{(2)}$

利用比例系数将 $a,b,c$ 统一用 $x,y,z$ 反向线性表示：

$a=tx,b=ty,c=tz$

将这组代换关系代入已知条件 $a^2+b^2+c^2=10$ 中：

$(tx{)}^2+(ty{)}^2+(tz{)}^2=10⟹t^2{x}^2+t^2{y}^2+t^2{z}^2=10$

提取公因式 $t^2$：

$t^2\left(x^2+y^2+z^2\right)=10$

此时，将另一个已知条件 $x^2+y^2+z^2=40$ 整体代入上式中：

$t^2\times 40=10⟹t^2=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}$

因为比例系数 $t>0$，对其开平方根，解得：

$t=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\text{(3)}$

第三步：运用等比定理求解目标式

根据合比与等比定理，对于任意一组相等的比值，分子之和与分母之和的比仍然等于原比值。

由②式已建立的比例关系：

$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=\frac{a+b+c}{x+y+z}$

结合③式求得的比例系数 $t=\frac{1}{2}$，可直接得出：

$\frac{a+b+c}{x+y+z}=t=\frac{1}{2}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三维柯西不等式的等号边界检验、等比定理在多变量分式化简中的消元技巧。

2. 核心方法：特值代入快捷法（选择题通法）。由于本题是一道标准的选择题，且题干中给出的自变量个数（6个）远大于方程约束个数（3个），这说明最终的答案与具体变量的数值无关。我们可以在考场上直接构造一组极简的特殊值：

• 设 $a=b=c$ 且 $x=y=z$。

• 代入条件一： $3a^2=10⟹a=\sqrt{\frac{10}{3}}$；

• 代入条件二： $3x^2=40⟹x=\sqrt{\frac{40}{3}}$；

• 代入目标求值式： $\frac{a+b+c}{x+y+z}=\frac{3a}{3x}=\frac{a}{x}=\frac{\sqrt{\frac{10}{3}}}{\sqrt{\frac{40}{3}}}=\sqrt{\frac{10}{40}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$。

直接在 口算得出答案，完全免去了繁琐的柯西定理推导。

3. 避坑指南：

• 盲目进行多项式强行展开：部分考生在看到式子后，企图通过 $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ 去强行拼凑未知项。切记看到平方和与交叉点积和同时出现，第一思维必须首先向柯西不等式的模型结构靠拢。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册《计数原理与不等式选讲》中柯西不等式章节的综合能力测试题。在高等数学中，该结构属于经典的欧几里得空间（内积空间）中向量夹角余弦值 $\cos \theta =1$ 的退化边界模型。

2. 结论推广:

• 柯西等号临界多元分式有界快速模型：对于任意一组正实数序列 $\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$ 与 $\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$。

• 若它们在代数结构上满足如下完美的柯西等号守恒硬约束：

$$\left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \cdot \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) = \left( \sum_{i=1}^n a_ix_i \right)^2$$

• 则其对应的任意一阶加权齐次分式比值，其结果完全由两平方和因子的代数比值所单调锁定。

• 严格的通用几何快捷通式恒表现为：

$$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{x_1 + x_2 + \cdots + x_n} \equiv \sqrt{\frac{\sum a_i^2}{\sum x_i^2}}$$

• 我们用本题的数据直接套用该推广快捷公式：

$$\text{目标分式} = \sqrt{\frac{10}{40}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$

• 熟记这一柯西等号均值比例退化模型，无论题目变量维度扩展到多少维，均能做到、直接得出正确答案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.03 柯西不等式

类题演练 (Links)

• 2005-福建卷理-11 单-柯西不等式

• 2008-大纲卷I理-10

• 2008-浙江卷文-16 填-向量模长范围