本题导读
本题考查平方差公式与完全平方公式，以及余弦定理的代数结构。
📌【题干】
Question
（2012年湖北卷(理)） 设 的内角 所对的边分别是 .若 ，则角 .
🔍【思路分析】
破题导航
- 整体组合变形：观察已知乘积式的左端，将 视为一个独立的整体代数块，将其重新改写为 。此时结构完美契合标准的平方差公式 。
- 展开并提取核心结构：将平方差展开后，再利用完全平方公式展开 。移项合并同类项，孤立出与余弦定理分子完全重合的特征块 。
- 套用余弦定理转化求角：将求出的边长关系代入余弦定理变型公式 中，约去公因式 求得具体的余弦数值。结合内角范围 推出最终角度。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
第一步：运用因式分解公式化简已知条件 已知关于三角形三边长的代数方程为：
我们采用整体换元思想，将前两项 组合并视为一个单一的代数主体，原式可以重新对齐分组为：
套用平方差公式 ，将左端执行乘法合并：
接下来，套用完全平方公式 将①式的前项多项式彻底展开：
为了与余弦定理的标准分子结构对接，我们将左端的 项移项至等式右端，与同类项进行代数合并：
第二步：结合余弦定理求出内角 的余弦值 根据解三角形中的标准余弦定理，内角 的余弦值与三条边长之间严格满足如下映射方程：
我们将第二步中求得的分子整体代换关系②式（ ）直接整体代入余弦定理公式③的分子中：
由于 是三角形的实际边长，显然满足 。 分子与分母同时约去共同的字母乘积项 （实现代数消元）：
第三步：根据内角范围锁定角 的大小 在任意 中，内角 的几何范围受到如下基本大前提的约束：
在开区间 内，余弦值等于 的特殊角有且仅有一个（由于余弦值为负，说明该内角实际上是一个钝角）：
所以，角 的大小为 （或写为 ）。
填空题答案为：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：多项式平方差的整体换元变形、余弦定理齐次约分、钝角三角函数值的逆向求取。
- 核心方法：特征结构对齐法。解三角形中的代数小题通常具有极强的规律性。当看到已知条件中出现类似于 以及 的加减组合时，第一核心解题思维必须是无条件向余弦定理的分子形式 进行强行配凑和变形。通过提取该特征块，可以实现一步到位的代数化简。
- 避坑指南：
- 移项变号时发生笔误：在由 移项时，经常有考生粗心大意将 错算成了 或 。切记跨越等号则符号相反。
- 特殊角弧度制写错：部分考生知道余弦值为 对应的是 ，但在处理负号时，容易想当然地在前面加个负号写成 ，或者错算成 的两倍以外的其他值。切记三角形内角为负余弦时，对应的钝角通过 来转换。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第一章《解三角形》中关于余弦定理基本应用的课后经典练习题。属于高考中低难度的中档常规填空题。
- 结论推广:
- 标准完全平方边长组合求角通用快速模型：若在一平面三角形中，三条边长受到如下加权完全平方式的线性硬约束（其中 为常数系数）：
- 经由余弦定理通式完全消元后，该三角形内角 的对应余弦响应值恒完全由系数 的单变量函数所严格死锁：
- 本题中已知条件为 ，即系数 。直接套用此推广快速模型公式：
- 结果直接一步到位。熟记这一完全平方边长求角模型，在面对任何同类变型小题（例如把等号右边的 换成 或其倍数）时，均能做到完全、直接心算得出。
🔗【关联脉络】
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