2012-湖北卷理-13 填-归纳类比推理

本题导读

本题考查归纳推理与类比推理，以及计数原理。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(理)） 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如 22, 121, 3443, 94249 等.显然 2 位回文数有 9 个：11, 22, 33, $\cdots$, 99.3 位回文数有 90 个：101, 111, 121, $\cdots$, 191, 202, $\cdots$, 999.则

(1)4 位回文数有 $\underline{}$ 个；

(2)$2n+1(n\in {\mathbb{N}}_{+})$ 位回文数有 $\underline{}$ 个.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析 4 位回文数的构造（第Ⅰ问）：

• 设 4 位回文数结构为 $\overline{abba}$。由于它关于中心对称，一旦前两位的数值 $a$ 和 $b$ 确定，后两位的数值也就随之唯一确定。
• 分步选择数位：首位 $a$ 作为最高位不能为 0，有 $1\sim 9$ 共 9 种选法；第二位 $b$ 可取 $0\sim 9$ 共 10 种选法。利用乘法原理即可求出结果。

2. 分析奇数位回文数的通项规律（第Ⅱ问）：

• 设 $2n+1$ 位回文数的代数结构。它包含 $2n+1$ 个数位，由于镜像对称，只需确定左侧前 $n+1$ 位，右侧剩余的 $n$ 位便随之锁死。
• 分步填数：最高位不能为 0 有 9 种选法，其余的 $n$ 个独立数位均各有 10 种选法。相乘后即可归纳出通项算式。

✅【答案】

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(1) $90$

(2) $9\times 10^n$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）求解 4 位回文数的个数 设任意一个 4 位回文数在平面直角数位上的抽象结构形式为： $\overline{abba}(\text{其中 }a,b\in \mathbb{Z})$

根据回文数的镜像对称定义，后两位的数字排列完全由前两位决定。因此，构造一个 4 位回文数可以分解为以下两个独立的步骤：

• 第一步：确定最高位（千位）数字 $a$ 因为 $a$ 作为 4 位数的最高位，其数值绝对不能为 0。因此 $a$ 只能在集合 $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 中进行挑选，共有 9 种 不同的选法。 由于回文对称性，一旦千位 $a$ 确定，个位 $a$ 也就随之唯一确定（选法为 1）。
• 第二步：确定次高位（百位）数字 $b$ 百位数字 $b$ 没有任何最高位的限制，可以自由在集合 $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 中进行挑选，共有 10 种 不同的选法。 同样，一旦百位 $b$ 确定，十位 $b$ 也就随之唯一确定（选法为 1）。

根据分步乘法计数原理， 4 位回文数的总个数为： $N_4=9\times 10=90\text{ 个}$

填空题第（Ⅰ）空答案为：90

（Ⅱ）求解 $2n+1(n\in {\mathbb{N}}_{+})$ 位回文数的个数

解法一：基本计数原理分析法（顺向思维） 当回文数的总位数为奇数 $2n+1$ 位时，其数位关于最中间的第 $n+1$ 位呈现完美的左右对称。 我们只需要定量确定左半部分（包含中间位）的数位字符组合，右半部分即可自动复制镜像。 从左到右数，需要独立确定数字的数位共有： $\text{独立项数}=n+1\text{ 个数位}$

我们再次套用分步乘法计数原理对这 $n+1$ 个数位进行独立填数选择：

1. 最高位（第 1 位）：不能为 0，可填 $1\sim 9$，共 9 种 选法；
2. 第 2 位：可填 $0\sim 9$，共 10 种 选法；
3. 第 3 位：可填 $0\sim 9$，共 10 种 选法； $\cdots \cdots$
4. 第 $n+1$ 位（正中间项）：可填 $0\sim 9$，共 10 种 选法。

由于从第 2 位到第 $n+1$ 位一共有 $(n+1)-2+1=n$ 个数位，每个数位都有 10 种独立的可能性。 根据分步乘法计数原理，将各步的选择数进行代数连乘： $N_{2n+1}=9\times \underset{n\text{ 个}}{\underbrace{10\times 10\times \cdots \times 10}}=9\times 10^n\text{ 个}$

解法二：不完全归纳推理法（逆向思维） 我们可以通过列举前面已知的奇数位回文数数量进行规律归纳：

• 当 $n=1$ 时，数位为 $2\times 1+1=3$ 位。题目已知 3 位回文数有 90 个，可改写为： $90=9\times 10^1$
• 当 $n=2$ 时，数位为 $2\times 2+1=5$ 位。仿照上述原理，5 位回文数只需确定前 3 位（最高位 9 种，其余两位各 10 种），个数为 $9\times 10\times 10=$ 900 个，可改写为： $900=9\times 10^2$
• 当 $n=3$ 时，数位为 $2\times 3+1=7$ 位。同理，7 位回文数需要确定前 4 位，个数为 9000 个，可改写为： $9000=9\times 10^3$

观察上述级数序列的指数变换： 随着 $n=1,2,3,\cdots$ 的递增，所得回文数个数对应的 10 的幂次恰好严格等于 $n$。 由此不完全归纳法可以合理推出，当位数为 $2n+1$ 时，其对应的回文数总个数必然为： $9\times 10^n$

填空题第（Ⅱ）空答案为：$9\times 10^n$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分步乘法计数原理在数位构造中的嵌套应用、由特例数量向代数通项表达式的合情归纳推理。
2. 核心方法：镜像独立数位提取法。处理任何关于“回文”性质（包括回文数、回文序列、回文字符串）的计数问题，最核心的代数大招是：利用对称性将研究视界直接减半。由于后半部分是前半部分的完美复制品，其选择可能性退化为 1。因此只需要牢牢抓住前半部分独立变量的数位进行排列组合，即可实现快速得出。
3. 避坑指南：

• 最高位错选 10 种导致翻车：在分步计数时，最高位（最左端的数字）必须排除 0（否则 4 位数会退化变成 3 位数）。很多学生习惯性地对所有位置都乘 10，导致第（Ⅰ）问错算成 100 种。
• 幂指数 $n$ 与 $n-1$ 计数混淆：在第（Ⅱ）问中，极易因为数错 10 的个数写成 $9\times 10^{n+1}$ 或 $9\times 10^{n-1}$。建议在纸上代入 $n=1$ 进行结果对齐审查（代入 $n=1$ 必须等于 90），即可有效纠偏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第六章《计数原理》中关于分类加法与分步乘法计数原理的基础章末创新拔高题。属于高考考查逻辑构造与合情归纳能力的中档常规题。
2. 结论推广:

• 任意数位回文数规模有界收敛通用模型：在十进制数系空间中，若定义任意正整数的数位长度为 $K(K\in {\mathbb{N}}^{\ast })$。
• 无论 $K$ 最终表现为奇数还是偶数，其所包络产生的回文数总体代数规模 $N(K)$，在通过高斯取整函数 $\lceil x\rceil$（向上取整）执行数位剥离后，严格恒表现为如下高度统一的一元通用推广快捷通式： $N(K)\equiv 9\times 10^{\lceil \frac{K}{2}\rceil -1}$
• 我们用这一通式对本题的两设问进行一步到位的快速校验：
  • （Ⅰ）设问中位数 $K=4⟹\text{指数}=\lceil \frac{4}{2}\rceil -1=2-1=1$。直接输出： $N=9\times 10^1=90$。
  • （Ⅱ）设问中位数 $K=2n+1⟹\text{指数}=\lceil \frac{2n+1}{2}\rceil -1=(n+1)-1=n$。直接输出： $N=9\times 10^n$。
• 结果全部完美契合。熟记这一通用高斯取整回文计数模型，在考场上遇到任何同类变型题（如直接问 10 位回文数有多少个），均能做到、直接心算得出。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合 类题演练 (Links)

• 1989-全国卷理-12 单-排列计数

• 1994-全国卷理-10

• 1995-全国卷理-13