2012-湖南卷理-01 单-指数

本题导读

本题考查一元二次不等式的解法，以及集合的交集运算。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)） 设集合 $M=\{-1,0,1\}$，$N=\{x\mid x^2\le x\}$，则 $M\cap N=$()

A. $\{0\}$　　　　　B. $\{0,1\}$　　　　　C. $\{-1,1\}$　　　　　D. $\{-1,0,1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $N$：解一元二次不等式 $x^2\le x$。移项后因式分解为 $x(x-1)\le 0$，求出连续区间范围。
2. 执行交集运算：根据交集定义 $M\cap N=\{x\mid x\in M\text{ 且 }x\in N\}$，在集合 $M$ 的离散元素 $\{-1,0,1\}$ 中，筛选出满足集合 $N$ 范围约束的元素即可。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解一元二次不等式以化简集合 $N$： $x^2\le x⟹x^2-x\le 0$

将多项式进行因式分解： $x(x-1)\le 0$

解得自变量 $x$ 的连续闭区间范围为： $0\le x\le 1$ 故集合 $N=\{x\mid 0\le x\le 1\}$。

已知集合 $M=\{-1,0,1\}$。根据交集的定义，需筛选出同时属于 $M$ 和 $N$ 的元素：

• 对于 $-1$： $-1\notin N$；
• 对于 $0$： $0\in N$；
• 对于 $1$： $1\in N$。

因此，两集合的共有元素为 $0$ 和 $1$： $M\cap N=\{0,1\}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次不等式的初等解法、离散集合与连续区间的交集筛选。
2. 核心方法：不等式化归法。处理集合运算大题时，第一步无条件将描述法表示的范围式统一化简为最简区间，再执行交、并、补计算。
3. 避坑指南：

• 移项未变号或直接约项导致漏解：部分考生在解 $x^2\le x$ 时，习惯性两边同时除以 $x$ 得到 $x\le 1$，从而漏掉了 $x\ge 0$ 的下边界约束。切记不等式两端绝不能在未知正负时同时除以含有变量的因式，必须移项因式分解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》与第二章《一元二次函数、方程和不等式》的章末交叉基础选择题，属于高考卷面第一题的标准送分题。
2. 结论推广：

• 一阶常规幂次有界集合运算模型：形如 $N=\{x\mid x^n\le x\}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\text{ 为偶数})$ 的特征集合，其在实数域上的有理化简区间恒刚性收敛为： $N\equiv [0,1]$
• 掌握此基础特征区间的解法，在未来的任何集合第一题中，无论集合 $M$ 里的离散项如何平移，均能通过 $[0,1]$ 区间卡位在 直接得出正确选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算 类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷理-01 单-对数

• 1997-全国卷理-01 单-集合的交集与一元二次不等式

• 2004-全国卷II理-01 单-集合的交集运算