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2012-湖南卷理-07 单-向量新定义

6 min read

本题导读

本题考查平面向量的数量积定义，以及向量夹角的概念。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(理)） 在 中，，则 ()

A. 　　　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　　　　　D.

🔍【思路分析】

破题导航

  1. 因为已知 ，所以根据向量数量积定义展开为 。
  2. 因为向量 与 是首尾相接的，所以它们的夹角不是三角形的内角 ，而是内角 的补角 。由 可得到关于 和 的第一组代数方程。
  3. 因为已知三角形的两边 ，所以利用余弦定理 建立第二组方程，联立消去 即可解出 。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为根据平面向量数量积的定义，满足：

因为在 中，向量 与 的几何夹角满足共起点原则，延长 后可知其夹角为内角 的补角，即 ， 所以 。

将已知数据 及 代入数量积展开式中：

因为在 中，根据余弦定理，满足：

将已知数据 代入余弦定理公式中：

将①式 整体代入②式中以消去分量 ：

因为线段长度 ，所以两边开平方根解得：

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

  1. 核心考点：向量首尾相连时几何夹角的补角转化关系、余弦定理在非直角三角形中的未知边长联立求解。
  2. 核心方法：基本代数消元法。处理向量与解三角形交叉的小题时，通过向量公式和几何定理分别表示出同一个角（如 ），进而构建联立方程组消除三角函数项，直接转化为关于边长的一元代数方程。
  3. 避坑指南：
  • 因为向量 与 的起点不同，所以它们的夹角绝对不等于三角形的内角 。部分考生容易因习惯性思维写成 ，导致最终在余弦定理中符号算错。牢记共起点或共终点时才直接等于内角。

📖【试题探源与推广】

Tip

  1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第一章《平面向量及其应用》与必修第二册第六章《解三角形》中关于向量数量积与余弦定理综合运用的章末能力复习选择题。
  2. 结论推广：
  • 三角形顺次割线向量积守恒模型：在任意 中，对于顺次相接的两个边向量，其数量积与三边满足高度刚性的守恒关系。因为根据向量加法定理 ，所以将目标式直接进行向量平方差展开：
  • 依据余弦定理的向量式 ，代入上式化简可得如下完全不含角度的通用推广快捷通式：
  • 因为本题中 ，代入该推广模型中：
  • 结果只需一步计算。掌握这一“首尾向量积边长模型”，在未来考场上面对任何复杂的向量解三角形大题时，均能直接跳过所有角度讨论实现快速得出。

🔗【关联脉络】

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