2012-福建卷理-10 单-琴生不等式

本题导读

本题考查凸函数与凹函数的定义，以及狄利克雷函数的病态性质。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(理)）

函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定义，若对任意 $x_1,x_2\in [a,b]$，有 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]$，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有性质 P.设 $f(x)$ 在 $[1,3]$ 上具有性质 P，现给出如下命题：

① $f(x)$ 在 $[1,3]$ 上图像是连续不断的；

② $f(x^2)$ 在 $[1,\sqrt{3}]$ 上具有性质 P；

③ 若 $f(x)$ 在 $x=2$ 处取得最大值 1，则 $f(x)=1,x\in [1,3]$；

④ 对任意 $x_1,x_2,x_3,x_4\in [1,3]$，有 $f\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}\right)\le \frac{1}{4}[f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)]$.

其中真命题的序号是()

A. ①②　　　　　　　B. ①③　　　　　　　C. ②④　　　　　　　D. ③④

🔍【思路分析】

破题导航

1. ① 辨析：性质 P 只约束了中点处的函数值关系。在高等数学中，满足中点凸性的函数如果不加“可测”或“有界”的限制，可以是非常零碎的非连续病态函数。可通过构造类似狄利克雷函数的变体来寻找反例。

2. ② 辨析：注意命题里的函数是 $f(x^2)$ 而不是 $f(x)$。若只是 $f(x)$ 限制在子区间 $[1,\sqrt{3}]$ 上，结论当然成立（子区间内的两点仍在大区间内）；但换成 $f(x^2)$，性质 P 要求的是 $f\left[{\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)}^2\right]$ 与 $\frac{1}{2}\left[f(x_1^2)+f(x_2^2)\right]$ 比大小，左端的自变量与 $\frac{x_1^2+x_2^2}{2}$ 不是一回事，推不过去。

3. ③ 辨析：在 $x=2$（恰为区间 $[1,3]$ 的中点）取得最大值。利用性质 P，任何两点中点值被两端均值卡位。若中点取到全局最高峰，则迫使两端点必须同时达到这一最高峰，从而通过不断取中点扩散至全区间，锁定原函数必为常数函数。

4. ④ 辨析：这是典型的琴生不等式（Jensen’s Inequality）从 2 变量向 $2^k$ 变量递推的代数过程。先将 4 变量两两配对视为 2 组中点，嵌套套用两次性质 P 公式即可证明。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

我们对题目给出的四个命题进行严密的代数与逻辑论证：

① 命题辨析：假命题

满足性质 P（中点凸性）的函数在数学上不一定是连续的。

• 一个走不通的尝试：用狄利克雷式赋值（有理点取 $0$、无理点取 $1$）构造反例是行不通的——取一有理一无理，中点为无理点，左边 $=1$、右边 $=0.5$，$1\le 0.5$ 不成立，这恰恰破坏了性质 P。

• 严格的高等数学反例：利用哈梅尔基（Hamel basis），空间中存在高度病态的非线性函数满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)$（从而必然满足中点严格相等性质 P），但该函数在任何区间上都处处不连续、处处无界。

因此，具有性质 P 无法推导出图象连续，①为假。

② 命题辨析：假命题

注意命题说的是 $f(x^2)$，不是 $f(x)$。记 $g(x)=f(x^2)$，则 $g$ 在 $[1,\sqrt{3}]$ 上具有性质 P，要求对任意 $x_1,x_2\in [1,\sqrt{3}]$ 有

$f\left[{\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)}^2\right]\le \frac{1}{2}\left[f(x_1^2)+f(x_2^2)\right].$

而 $f$ 在 $[1,3]$ 上具有性质 P，取 $u=x_1^2,v=x_2^2\in [1,3]$ 只能得到

$f\left(\frac{x_1^2+x_2^2}{2}\right)\le \frac{1}{2}\left[f(x_1^2)+f(x_2^2)\right].$

两式左端不同：${\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)}^2\le \frac{x_1^2+x_2^2}{2}$，而 $f$ 未必单调，无法由后者推出前者。

反例：取 $f(x)=-x$，$x\in [1,3]$。此时

$f\left(\frac{u+v}{2}\right)=-\frac{u+v}{2}=\frac{1}{2}\left[f(u)+f(v)\right],$

等号恒成立，故 $f$ 在 $[1,3]$ 上具有性质 P。但取 $x_1=1,x_2=\sqrt{3}$，则

$f\left[{\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)}^2\right]=-\frac{(1+\sqrt{3}{)}^2}{4}\approx -1.866,\frac{1}{2}\left[f(1)+f(3)\right]=-2,$

左端大于右端，违反性质 P 的定义。故 ② 为假。

③ 命题辨析：真命题

已知 $f(x)$ 在 $[1,3]$ 上的最大值为 1，且在中点 $x=2$ 处取得，即对于任意 $x\in [1,3]$，都有 $f(x)\le 1$，且 $f(2)=1$。

对于区间内任意关于 $x=2$ 轴对称的两点 $2-t$ 和 $2+t$（其中 $t\in [0,1]$），将其作为 $x_1,x_2$ 代入性质 P 公式：

$f\left(\frac{(2-t)+(2+t)}{2}\right)\le \frac{1}{2}[f(2-t)+f(2+t)]$

$f(2)\le \frac{1}{2}[f(2-t)+f(2+t)]$

将 $f(2)=1$ 代入上式：

$1\le \frac{1}{2}[f(2-t)+f(2+t)]⟹f(2-t)+f(2+t)\ge 2\text{(1)}$

同时，由于 1 是全局最大值，所以这两个点处的函数值分别满足上限硬约束：

$f(2-t)\le 1,f(2+t)\le 1⟹f(2-t)+f(2+t)\le 1+1=2\text{(2)}$

综合①式与②式的夹逼定量关系，必须满足：

$f(2-t)+f(2+t)=2$

要使两个不超过 1 的数相加刚好等于 2，唯一的代数可能只能是这两个数同时达到上限 1：

$f(2-t)=1\text{且}f(2+t)=1$

由于 $t\in [0,1]$ 具有任意性，这意味着在整个区间 $[1,3]$ 上的每一个点，函数值都必须恒等于 1。

即 $f(x)=1,x\in [1,3]$。故 ③ 为真。

④ 命题辨析：真命题

对于任意的四个自变量 $x_1,x_2,x_3,x_4\in [1,3]$，我们采用两两分组配对法。

首先将 4 变量的中点平均数拆分为两组双变量中点形式的再平均：

$\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}=\frac{\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{x_3+x_4}{2}}{2}$

第一步：对最外层的两组整体看作新变量，套用第一次性质 P 公式：

$f\left(\frac{\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{x_3+x_4}{2}}{2}\right)\le \frac{1}{2}\left[f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)+f\left(\frac{x_3+x_4}{2}\right)\right]\text{(3)}$

第二步：分别对右端的两个子项各自内部再次平行套用性质 P 公式：

$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]$

$f\left(\frac{x_3+x_4}{2}\right)\le \frac{1}{2}[f(x_3)+f(x_4)]$

第三步：将上述两个子项放缩式整体代回③式的括号中：

$f\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}\right)\le \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]+\frac{1}{2}[f(x_3)+f(x_4)]\right]$

提取公因数 $\frac{1}{2}$ 展开：

$=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)]$

$=\frac{1}{4}[f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)]$

不等式完全成立。故 ④ 为真。

综上所述，真命题的序号为 ③和④。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：中点凸性性质的子集完备性、极大值在凸函数中点处的常数化夹逼论证、琴生不等式的二分法多维递推。

2. 核心方法：双重结构夹逼法与变量配对法。证明类似③这种“极值迫使函数退化为常数”的结论，通过构造对称变元 $2-t$ 和 $2+t$，利用“最大值限制上限”与“不等式限制下限”构成围堵，是处理高级抽象函数最有效的武器。

3. 避坑指南：

• 凭直觉误选①：很多考生习惯性地认为高中阶段讨论的函数都是平滑、连续不断的。一看到性质 P 像抛物线一样弯曲，就主观认定图象一定连续，从而误选 A 或 B。切记没有声明连续或可导的抽象函数，绝对不能脑补其连续性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于大学高等数学“数学分析”或“实变函数”中关于凸函数（Convex Functions）的经典定义。性质 P 就是著名的中点凸性（Midpoint Convexity）。

2. 结论推广:

• 中点凸性多变元琴生不等式推广定理：若一具有定义域的抽象函数 $f(x)$ 满足标准性质 P。

• 则通过上述二分法无限迭代，该不等式可以无损推广到任意 $2^k(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ 个变量的均值形式。

• 更进一步，利用倒推法（Backward Induction），可以推广到任意正整数 $n$ 个变量的完全一般化形式（即标准的琴生不等式）：

$$f\left(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\right) \le \frac{1}{n}[f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)]$$

• 牢记这一高等代数背景定理，不仅能在考场上快速得出性质 P 的多变量判断，更能深刻理解导数压轴大题中关于“凸性放缩”的几何本质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2005-北京卷理-12 填-对数函数的运算性质

• 2009-新课标卷文-12 单-min新定义最值

• 2013-上海卷理-20 解-函数最值