2012-辽宁卷理-04 单-命题

本题导读

本题考查量词命题的否定，以及全称量词与存在量词。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 已知命题 $p$: $\forall x_1,x_2\in \mathbf{R},(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)\ge 0$, 则 $\neg p$ 是 ()

A. $\exists x_1,x_2\in \mathbf{R},(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)\le 0$

B. $\forall x_1,x_2\in \mathbf{R},(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)\le 0$

C. $\exists x_1,x_2\in \mathbf{R},(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)<0$

D. $\forall x_1,x_2\in \mathbf{R},(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)<0$

🔍【思路分析】

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1. 识别原命题的类别：原命题 $p$ 开头带有全称量词 $\forall$（对任意的），属于典型的全称量词命题。
2. 应用量词否定规则：对全称命题进行否定时，核心操作分为两步：

• 第一步：量词对换。将全称量词 $\forall$ 改写为存在量词 $\exists$（存在一些）。
• 第二步：结论取反。将原命题结论部分的不等式或陈述句改为其各自逻辑上的反面状态。

3. 不等号反面替换：原结论为“ $\ge 0$”，其逻辑上的完全对立反面应当是“ $<0$”（严格小于，不能包含等于号）。
4. 综合两步，拼装出最终的 $\neg p$ 表达式，对齐选项完成判定。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

根据高中数学逻辑用语中关于全称命题否定的标准转换准则： 若原全称命题表达形式为： $p:\forall x\in M,P(x)$ 则其否定命题 $\neg p$ 的标准代数结构应当为： $\neg p:\exists x\in M,\neg P(x)$

针对本题中的已知全称命题 $p$： $p:\forall x_1,x_2\in \mathbf{R},(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)\ge 0$

进行两步法结构映射：

1. 将全称量词“ $\forall x_1,x_2\in \mathbf{R}$”转换为存在量词“ $\exists x_1,x_2\in \mathbf{R}$”；
2. 将结论限制条件“ $(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)\ge 0$”转换为其逻辑对立面。因为实数系中“大于或等于”的反面是严格“小于”，故不等号变更为“ $<0$”。

组合拼装得到否定命题 $\neg p$ 为： $\exists x_1,x_2\in \mathbf{R},(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)<0$

故选 C#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：全称量词与存在量词的对换、不等号非状态的严格对应。
2. 核心方法：量词取反转换法。
3. 避坑指南：

• 误将不等号“ $\ge 0$”的反面写成“ $\le 0$”，从而错选 (A)。需要特别牢记：大于等于的对立面是不包含等号的纯粹小于，切忌由于思维定式而带上等号。
• 忘记将全称量词 $\forall$ 转换为 $\exists$，导致在 (B) 或 (D) 中兜圈子。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》中关于量词命题否定变换的典型经典高考基础选择题。
2. 结论推广：本题命题 $p$ 在数学分析中具有明确的函数性质含义。原命题 $p$ 代表“函数 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的单调递增函数（或非减函数）”。而其否定命题 $\neg p$ 对应的代数含义为：“存在某两个自变量，使得其增量乘积为负”，即表明“该函数不是单调递增函数”。这种将抽象函数单调性定义与纯逻辑量词符号化包装交汇的模型，是近年来高考在小题中考查数理逻辑深度的常用手段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系 类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-04 单-全称命题否定

• 2013-重庆卷文-02 单-命题否定

• 2014-天津卷文-03 单-命题否定