本题导读
本题考查一元二次方程的韦达定理，以及两角和的正切公式。
📌【题干】
Question
（2012年重庆卷(理)） 设 是方程 的两根，则 的值为()
A. B. C. 1 D. 3
🔍【思路分析】
破题导航
- 提取方程根的关联（韦达定理）：已知 是一元二次方程 的两个互异实根。无需解出具体的根，直接根据韦达定理（根与系数的关系）写出：两根之和 ，两根之积 。
- 公式映射对接：展开目标代数式，两角和的正切公式满足 。该公式的分子和分母恰好完美对应了上述韦达定理提炼出的两个整体。
- 整体代入求值：将和与积的数值直接整体代入分式中，通过简单的整式算术化简即可快速锁死正确选项。
✅【答案】
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A
✍【详细解析】
Abstract
因为 和 是关于 的一元二次方程 的两个实数根。 根据一元二次方程的韦达定理（根与系数的关系）可得：
根据三角恒等变换中的两角和的正切公式：
将上述求得的整体代数数值 和 直接代入该公式的分子与分母中：
所以， 的值为 。
故选 A
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：一元二次方程韦达定理 的应用、两角和的正切变形公式。
- 核心方法：整体代换思想。处理三角函数与二次方程混合的求值问题，切忌盲目使用因式分解（如本题虽可因式分解解出 ）去分步求角度。坚持“设而不求、整体打包”的韦达定理法则，能够极大提升解题的流畅度并防范计算失误。
- 避坑指南：
- 正切公式分母符号记错：两角和的正切公式中，分母项是 ，部分考生易与两角差的公式混淆而错记为 ，从而算出 误选 C。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第五章《三角恒等变换》中关于正切和差公式应用的课后常规训练题。属于高考考查三角恒等变换与代数方程交叉结合的标准低难度送分题。
- 结论推广:
- 二次方程正切双角和通用模型：若已知 是关于 的任意标准一元二次方程 的两个实数根。
- 依据韦达定理可直接导出 ， 。
- 代入正切和差公式并同步消去分母上的系数 ，可推导得出求解两角和正切值的通用一般化快捷快捷通式：
- 本题中 ，直接套用推广通式： 。通过熟记该结构，在面对任何同类方程两根求正切和的问题时，均可实现免去所有公式书写的 速杀。
🔗【关联脉络】
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10.01 两角和与差及辅助角公式 类题演练 (Links)