2012-重庆卷理-08 单-极值

本题导读

本题考查导数与函数的极值，以及导数正负与单调性的关系。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(理)）

设函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，其导函数为 $f^{\prime }(x)$，且函数 $y=(1-x)f^{\prime }(x)$ 的图象如题(8)图所示，则下列结论中一定成立的是()

A. 函数 $f(x)$ 有极大值 $f(2)$ 和极小值 $f(1)$

B. 函数 $f(x)$ 有极大值 $f(-2)$ 和极小值 $f(1)$

C. 函数 $f(x)$ 有极大值 $f(2)$ 和极小值 $f(-2)$

D. 函数 $f(x)$ 有极大值 $f(-2)$ 和极小值 $f(2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确立零点划分区间：由题（8）图可知，复合函数 $g(x)=(1-x)f^{\prime }(x)$ 与 $x$ 轴的交点（零点）分别为 $x=-2,1,2$。这三个点将整个实数集 $\mathbb{R}$ 划分为四个区间。

2. 分离因式符号：对于每个区间，首先观察图象确定复合函数 $g(x)$ 的整体正负号。同时，计算已知项 $(1-x)$ 在该区间内的代数符号。

3. 推导导函数 $f^{\prime }(x)$ 的符号：利用乘除法同号得正、异号得负的性质，由 $f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{1-x}$ 推导出 $f^{\prime }(x)$ 的正负分布情况。

4. 判定单调性与极值点：

• 若 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 两侧由正变负，则 $x_0$ 为极大值点；

• 若 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 两侧由负变正，则 $x_0$ 为极小值点；

• 若 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 两侧符号不发生改变，则 $x_0$ 不是极值点。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

根据题目给出的函数 $y=(1-x)f^{\prime }(x)$ 的图象，其与 $x$ 轴的交点坐标为 $x=-2,1,2$。

我们按这三个关键零点将实数轴进行分段讨论，并对因式 $(1-x)$ 以及整体图象的符号进行剥离分析：

1. 当 $x<-2$ 时：

• 观察图象可知，曲线位于 $x$ 轴上方，即整体 $(1-x)f^{\prime }(x)>0$；

• 此时，由于 $x<-2<1$，所以因式 $(1-x)>0$；

• 两个因子同号相乘为正，故可推出导函数符号为：

$$f'(x) > 0 \implies f(x) \text{ 在 } (-\infty, -2) \text{ 上单调递增}$$

2. 当 $-2<x<1$ 时：

• 观察图象可知，曲线位于 $x$ 轴下方，即整体 $(1-x)f^{\prime }(x)<0$；

• 此时，由于 $x<1$，所以因式 $(1-x)>0$；

• 整体为负，已知左因式为正，故可推出导函数符号为：

$$f'(x) < 0 \implies f(x) \text{ 在 } (-2, 1) \text{ 上单调递减}$$

3. 当 $1<x<2$ 时：

• 观察图象可知，曲线位于 $x$ 轴上方，即整体 $(1-x)f^{\prime }(x)>0$；

• 此时，由于 $x>1$，所以因式 $(1-x)<0$；

• 整体为正，已知左因式为负，根据异号相乘性质，可推出导函数符号为：

$$f'(x) < 0 \implies f(x) \text{ 在 } (1, 2) \text{ 上单调递减}$$

4. 当 $x>2$ 时：

• 观察图象可知，曲线位于 $x$ 轴下方，即整体 $(1-x)f^{\prime }(x)<0$；

• 此时，由于 $x>2>1$，所以因式 $(1-x)<0$；

• 整体为负，已知左因式为负，同号相乘，可推出导函数符号为：

$$f'(x) > 0 \implies f(x) \text{ 在 } (2, +\infty) \text{ 上单调递增}$$

极值点汇总判定：

• 对于特征点 $x=-2$：

在 $x=-2$ 的左侧 $f^{\prime }(x)>0$（递增），右侧 $f^{\prime }(x)<0$（递减）。原导函数在此处符号由正变负，因此函数 $f(x)$ 有极大值 $f(-2)$。

• 对于特征点 $x=1$：

在 $x=1$ 的左侧 $f^{\prime }(x)<0$（递减），右侧 $f^{\prime }(x)<0$（递减）。原导函数在此处符号未发生改变，因此 $x=1$ 不是原函数的极值点。

• 对于特征点 $x=2$：

在 $x=2$ 的左侧 $f^{\prime }(x)<0$（递减），右侧 $f^{\prime }(x)>0$（递增）。原导函数在此处符号由负变正，因此函数 $f(x)$ 有极小值 $f(2)$。

综上所述，函数 $f(x)$ 有极大值 $f(-2)$ 和极小值 $f(2)$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导函数符号决定原函数增减单调性、函数极值判定的充分条件、复合乘积式图象的符号分离法。

2. 核心方法：表格区间符号分析法。处理此类多因式复合导数图象题，在考场上最不容易错的标准化通法是列出符号清单表格：

\text{区间} & x < -2 & -2 & -2 < x < 1 & 1 < x < 2 & x > 2 \ \hline

(1-x)f’(x) & + & 0 & - & + & - \ \hline

(1-x) & + & + & + & - & - \ \hline

f’(x) & + & 0 & - & - & + \ \hline

f(x) & \nearrow & \text{极大值} & \searrow & \searrow & \nearrow

\end{array}$$

通过表格化对齐，能极其清晰地看出 $x=1$ 的两侧由于 $f^{\prime }(x)$ 恒为负，单调性未发生改变，从而瞬间排除 A、B 选项。

3. 避坑指南：

• 错把已知图象直接当成 $f^{\prime }(x)$ 的图象：部分考生没有看清题干中 $y=(1-x)f^{\prime }(x)$ 这一因式变号限制，直接套用“图象在 $x$ 轴上方导数为正，图象在 $x$ 轴下方导数为负”的结论，从而错认极值点，误选 C。

• 误认为零点必然是极值点：切记 $f^{\prime }(x)=0$ 只是函数取得极值的必要非充分条件，必须有两侧导数符号的异号变号才能定义极值。本题中 $x=1$ 两侧由于因式与整体同步变号，导致 $f^{\prime }(x)$ 符号守恒，不是极值点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》中导数与极值性质的章末综合提升压轴选择题。主要考查学生对“导数变号”这一极值本质特征的深度理解。

2. 结论推广:

• 复合因式导数变号对称模型：若已知一阶复合函数 $y=H(x)f^{\prime }(x)$ 的图象。其中 $H(x)$ 在特征点 $x_0$ 处跨越零点（即 $H(x_0)=0$ 且两侧异号）。

• 若整体复合图象在 $x_0$ 处的交点表现为切动穿过（即整体也发生了变号）。由于 $H(x)$ 与整体同时变号，两者负负得正或正正得正相互抵消，必定导致真实的导数 $f^{\prime }(x)$ 在该点两侧符号守恒（不变号）。

• 由此可得出通用快捷定则：若整体图象与已知变号因式在同一点处相交穿过，则该点必不是原函数的极值点。

• 本题中因式 $1-x$ 的零点为 $x=1$，而图象也正好在 $x=1$ 处穿过 $x$ 轴变号。利用此快捷定则，可以直接不经过任何代数区间讨论，一眼断定 $x=1$ 不是极值点，从而在 直接排除 A、B 选项，将注意力集中在 $\pm 2$ 的变号方向上。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2005-天津卷理-22 解-三角函数的周期性

• 2006-天津卷理-09 单-导函数图像的几何意义

• 2007-天津卷理-20 解-函数极值