2012-重庆卷理-13 填-三角函数

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系，以及三角形内角和定理与两角和的正弦公式。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(理)） 设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且 $\cos A=\frac{3}{5}$，$\cos B=\frac{5}{13}$，$b=3$，则 $c=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出已知角的正弦值：在 $△ABC$ 中，因为 $\cos A=\frac{3}{5}>0$， $\cos B=\frac{5}{13}>0$，说明 $A,B$ 均为锐角。利用平方关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 精确求出 $\sin A$ 和 $\sin B$ 的值。
2. 转换目标角 $C$ 的正弦值（最优解）：由于已知了 $A,B$ 的两套三角函数值，可由内角和定理 $C=\pi -(A+B)$ 得到 $\sin C=\sin (A+B)$。套用两角和的正弦公式展开，即可直接算出 $\sin C$ 的精确数值。
3. 应用正弦定理求解边长：已知边 $b=3$，根据正弦定理标准变形公式 $c=\frac{b\cdot \sin C}{\sin B}$，直接带入常数进行计算，免去联立一元二次方程的繁琐计算。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{14}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，因为 $\cos A=\frac{3}{5}$， $\cos B=\frac{5}{13}$， 由于两个内角的余弦值均大于 0，可知 $A,B$ 均为第一象限的锐角，其正弦值恒为正数： $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$ $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=\frac{12}{13}$

根据三角形内角和定理， $A+B+C=\pi ⟹C=\pi -(A+B)$。 利用三角函数的诱导公式，可得角 $C$ 的正弦值为： $\sin C=\sin [\pi -(A+B)]=\sin (A+B)$

应用两角和的正弦公式展开： $\sin C=\sin A\cos B+\cos A\sin B$ 将求得的已知三角函数数值代入进行计算： $\sin C=\frac{4}{5}\times \frac{5}{13}+\frac{3}{5}\times \frac{12}{13}=\frac{20}{65}+\frac{36}{65}=\frac{56}{65}$

已知边长 $b=3$，根据求对应的目标边 $c$。 由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 变形可得： $c=\frac{b\cdot \sin C}{\sin B}$ 将各已知量数值代入分式中化简： $c=\frac{3\times \frac{56}{65}}{\frac{12}{13}}=3\times \frac{56}{65}\times \frac{13}{12}$

进行约分化简： $c=3\times \frac{56}{12}\times \frac{13}{65}=3\times \frac{14}{3}\times \frac{1}{5}=\frac{14}{5}$

所以，边 $c$ 的长为 $\frac{14}{5}$。

填空题答案为：$\frac{14}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数特殊勾股数转换（3-4-5型与5-12-13型）、内角和诱导公式变换 $\sin C=\sin (A+B)$、正弦定理求边的线性结构。
2. 核心方法：内角和整体代换法。在解三角形中，若已知任意两个角的三角函数值，求第三条边或第三个角时，优先使用 $C=\pi -(A+B)$ 将目标角整体化，利用和差公式一步解出 $\sin C$，能够完美避开余弦定理联立高次方程的巨大计算量。
3. 避坑指南：

• 误套余弦定理制造恶性计算：如原图解析所示，先通过正弦定理求出 $a=\frac{13}{5}$，然后再套用余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 建立关于 $c$ 的一元二次方程 $25c^2-90c+56=0$。这种做法在考场上极易因为十字相乘因式分解困难（ $25c^2-90c+56=(5c-14)(5c-4)$ ）而算错或耗费大量时间。
• 忽略三角形内角和约束：解一元二次方程会产生两个正根 $\frac{14}{5}$ 与 $\frac{4}{5}$，还需额外花费精力根据大边对大角判断去舍项，增加了失分风险。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中正弦定理与两角和差公式交叉融合的课后综合大题。属于高考考查解三角形最为主流的中档核心填空题。
2. 结论推广:

• 两角双特征勾股弦解三角形通用模型：若在一已知 $△ABC$ 中，已知两相邻内角的余弦值呈现经典勾股数组比例： $\cos A=\frac{x_1}{r_1}$， $\cos B=\frac{x_2}{r_2}$。
• 根据两角和公式，其对角正弦值恒表现为固定的行列式交叉整式积： $\sin C=\frac{y_1{x}_2+x_1{y}_2}{r_1{r}_2}$。
• 将其直接代入正弦定理通式 $c=\frac{b\cdot \sin C}{\sin B}$ 中，经分数分母项符号无损约除后，可推导得出求解目标边 $c$ 的完全一般化通用推广快捷通式： $c=b\cdot \left(\frac{x_2}{r_2}\cdot \frac{y_1}{y_2}+\frac{x_1}{r_1}\right)$
• 本题中 $b=3,x_1=3,y_1=4,r_1=5;x_2=5,y_2=12,r_2=13$。代入此推广快捷通式： $c=3\times \left(\frac{5}{13}\times \frac{4}{12}+\frac{3}{5}\right)=3\times \left(\frac{5}{39}+\frac{3}{5}\right)=3\times \frac{25+117}{195}=3\times \frac{142}{195}$？
• 重校分子系数约除：直接用 $\sin C/\sin B=\frac{y_1{x}_2+x_1{y}_2}{r_1\cdot y_2}$ 结构： $\frac{4\times 5+3\times 12}{5\times 12}=\frac{20+36}{60}=\frac{56}{60}=\frac{14}{15}$。
• 由此可得出最精简的正弦之比系数快捷通式： $c=b\cdot \frac{y_1{x}_2+x_1{y}_2}{r_1\cdot y_2}$
• 重新代入本题数据快速验证： $c=3\times \frac{4\times 5+3\times 12}{5\times 12}=3\times \frac{56}{60}=3\times \frac{14}{15}=\frac{14}{5}$。熟记该约除模型，在面对任何双勾股特征角的求边填空题时，均可直接实现一步口算输出精确解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.07三角形五心与奔驰定理

• 11.01 正弦定理 类题演练 (Links)

• 2007-北京卷理-11 填-三角形内角定理

• 2007-重庆卷理-05 单-特殊角三角函数值

• 2010-广东卷文-13 填-正弦定理内角和