2012-陕西卷理-02 单-函数的奇偶性与单调性

本题导读

本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，以及常见函数的性质。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)）

下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

A. $y=x+1$

B. $y=-x^3$

C. $y=\frac{1}{x}$

D. $y=x|x|$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 逐个判断四个函数的奇偶性与单调性。

2. $y=x|x|$：定义域 $\mathbb{R}$，$f(-x)=-x|x|=-f(x)$ 奇函数，且 $x>0$ 时 $y=x^2$ 增、$x<0$ 时 $y=-x^2$ 也增，故整体递增。

3. 其余选项逐一排除。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

A. $y=x+1$ 既非奇也非偶（$f(-x)=-x+1\ne \pm f(x)$），排除。

B. $y=-x^3$ 是奇函数但递减，排除。

C. $y=\frac{1}{x}$ 是奇函数，但在 $(-\infty ,0)$ 和 $(0,+\infty )$ 上分别递减，不满足”增函数”，排除。

D. $y=x|x|=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x⩾0\\ -x^2,& x<0\end{array}$，$f(-x)=-f(x)$ 奇函数，且单调递增。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的奇偶性判断

核心方法：函数的单调性判断

避坑指南：分段函数的性质

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于函数性质的判断

结论推广：可推广到复合函数的奇偶性

方法推广：$y=x|x|$ 是”奇且增”的典型函数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-13 单-指数函数的单调性与值域

• 2005-全国卷I理-09 单-对数不等式的解法

• 2005-全国卷I理-17 解-三角函数的对称轴