2012-陕西卷理-05 单-异面直线所成的角

本题导读

本题考查异面直线所成角的求解，以及空间向量（坐标）法。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)）

如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$，$CA=C{C}_1=2CB$，则直线 $B{C}_1$ 与直线 $A{B}_1$ 夹角的余弦值为()

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{3}$

C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

D. $\frac{3}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系：以 $C$ 为原点，$CA,CB,C{C}_1$ 为坐标轴方向。

2. 设 $CB=1$，则 $CA=C{C}_1=2$，写出 $B,C_1,A,B_1$ 坐标。

3. 求 $\overrightarrow{B{C}_1}$ 与 $\overrightarrow{A{B}_1}$ 的夹角余弦。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设 $CB=1$，则 $CA=C{C}_1=2$。建系：$C(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$B(0,1,0)$，$C_1(0,0,2)$，$A_1(2,0,2)$，$B_1(0,1,2)$。

$\overrightarrow{B{C}_1}=(0,-1,2)$，$\overrightarrow{A{B}_1}=(-2,1,2)$。

$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{B{C}_1}\cdot \overrightarrow{A{B}_1}|}{|\overrightarrow{B{C}_1}|\cdot |\overrightarrow{A{B}_1}|}=\frac{|0+(-1)+4|}{\sqrt{5}\cdot 3}=\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角的定义

核心方法：空间向量数量积

避坑指南：直三棱柱的结构

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于立体几何中异面直线夹角

结论推广：可推广到一般几何体的异面角

方法推广：坐标法求异面角：$\cos \theta =\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-17 解-异面直线所成的角

• 2005-全国卷I理-18 解-平面与平面垂直的判定

• 2005-天津卷理-12 填-异面直线所成的角