2012-陕西卷理-08 单-计数原理

本题导读

本题考查计数原理（分类加法）在比赛情形枚举中的应用。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)）

两人进行乒乓球比赛，先赢 $3$ 局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有()

A. $10$ 种

B. $15$ 种

C. $20$ 种

D. $30$ 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 比赛进行到有人先赢 3 局为止，可能打 3、4、5 局。

2. 按局数分类计数。

3. 3 局：$2$ 种；4 局：$6$ 种；5 局：$12$ 种。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设两人为甲、乙。

3 局结束（$3:0$）：甲胜或乙胜，$2$ 种。

4 局结束（$3:1$）：前 3 局胜者 $2$ 胜 $1$ 负，第 4 局胜者再胜。胜者可选甲或乙，前 3 局负者位置 ${\mathrm{C}}_3^1=3$，共 $2\times 3=6$ 种。

5 局结束（$3:2$）：前 4 局 $2:2$，第 5 局决胜。胜者甲或乙，前 4 局负者位置 ${\mathrm{C}}_4^2=6$，共 $2\times 6=12$ 种。

总计 $2+6+12=20$ 种。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分类加法计数原理

核心方法：组合计数

避坑指南：枚举法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于计数原理的应用

结论推广：可推广到”先到 $n$ 局胜”的计数

方法推广：按局数分类，避免重复遗漏

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-08 填-古典概型

• 2005-全国卷II理-15 填-排列组合与计数原理

• 2005-北京卷理-07 单-排列组合中的分步计数原理