2012-陕西卷理-09 单-余弦定理

本题导读

本题考查余弦定理与均值不等式的综合，以及最值的求解。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)）

在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对边的长分别为 $a,b,c$，若 $a^2+b^2=2c^2$，则 $\cos C$ 的最小值为()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $-\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由余弦定理写出 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。

2. 代入 $c^2=\frac{a^2+b^2}{2}$，得 $\cos C=\frac{a^2+b^2}{4ab}$。

3. 由均值不等式 $a^2+b^2⩾2ab$ 求最小值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$a^2+b^2=2c^2\Rightarrow c^2=\frac{a^2+b^2}{2}$。

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{a^2+b^2-\frac{a^2+b^2}{2}}{2ab}=\frac{a^2+b^2}{4ab}$

由 $a^2+b^2⩾2ab$，得 $\cos C⩾\frac{2ab}{4ab}=\frac{1}{2}$。

当且仅当 $a=b$ 时取等号。故 $\cos C$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理

核心方法：均值不等式

避坑指南：最值的求解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于解三角形与不等式

结论推广：可推广到其他边角关系的最值

方法推广：$a^2+b^2⩾2ab$ 是求最值的关键

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-09 填-余弦定理标准式

• 2005-上海卷理-17 解-异面直线所成的角

• 2005-全国卷I理-07 单-三角函数恒等变形