2012-陕西卷理-12 填-二项式系数

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式，以及特定项系数的求解。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)）

$(a+x{)}^5$ 展开式中 $x^2$ 的系数为 $10$，则实数 $a$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出 $(a+x{)}^5$ 的通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_5^r{a}^{5-r}{x}^r$。

2. 令 $r=2$ 得 $x^2$ 项系数 ${\mathrm{C}}_5^2{a}^3=10a^3$。

3. 由系数为 $10$ 解 $a$。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

$(a+x{)}^5$ 通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_5^r{a}^{5-r}{x}^r$。

$x^2$ 项：$r=2$，系数 ${\mathrm{C}}_5^2{a}^3=10a^3$。

由 $10a^3=10$，得 $a^3=1$，$a=1$。

故答案为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的通项公式

核心方法：特定项系数的求解

避坑指南：方程思想

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于二项式定理

结论推广：可推广到含参数系数的求解

方法推广：通项公式法定位特定项

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-04 填-二项式通项公式

• 2005-全国卷I理-14 填-二项式定理

• 2005-全国卷III理-03 单-二项式定理