2012-陕西卷理-15 解-选做题三选一

本题导读

本题考查选做题三选一，涉及绝对值不等式、圆幂定理、极坐标。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)）

三选一.

【A】若存在实数 $x$ 使 $|x-a|+|x-1|⩽3$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

【B】如图，在圆 $O$ 中，直径 $AB$ 与弦 $CD$ 垂直，垂足为 $E$，$EF\perp DB$，垂足为 $F$，若 $AB=6$，$AE=1$，则 $DF\cdot DB=$ $\underline{}$.

【C】直线 $2\rho \cos \theta =1$ 与圆 $\rho =2\cos \theta$ 相交的弦长为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. A 题：$|x-a|+|x-1|⩽3$ 有解，求 $a$ 范围。

2. B 题：用圆幂定理（相交弦定理）求 $DF\cdot DB$。

3. C 题：极坐标化为直角坐标，求弦长。

✅【答案】

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【A】$-2⩽a⩽4$；【B】$5$；【C】$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【A】$|x-a|+|x-1|$ 的最小值为 $|a-1|$，有解需 $|a-1|⩽3$，得 $-2⩽a⩽4$。

【B】由相交弦定理，$DF\cdot DB=DE\cdot DC$，结合 $AB=6,AE=1$ 及垂径定理计算得 $5$。

【C】$2\rho \cos \theta =1\Rightarrow x=\frac{1}{2}$；$\rho =2\cos \theta \Rightarrow x^2+y^2=2x\Rightarrow (x-1{)}^2+y^2=1$，圆心 $(1,0)$ 半径 $1$。

直线 $x=\frac{1}{2}$ 到圆心距离 $\frac{1}{2}$，弦长 $=2\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式的解

核心方法：圆幂定理

避坑指南：极坐标与直角坐标互化

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于选做题的三大模块

结论推广：可推广到各模块的典型题型

方法推广：选做题任选一题作答

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-14 单-绝对值不等式的解法

• 2005-全国卷II理-17 解-指数不等式的解法

• 2005-天津卷理-01 单-绝对值不等式的解法