2012-陕西卷理-19 解-椭圆方程

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，以及共线向量的应用。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)）

已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1$，椭圆 $C_2$ 以 $C_1$ 的长轴为短轴，且与 $C_1$ 有相同的离心率.

(1) 求椭圆 $C_2$ 的方程；

(2) 设 $O$ 为坐标原点，点 $A,B$ 分别在椭圆 $C_1$ 和 $C_2$ 上，$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$，求直线 $AB$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1. 由 $C_1$ 求长轴、离心率。

2. 由 $C_2$ 以 $C_1$ 长轴为短轴、离心率相同，求 $C_2$ 方程。

3. 由 $\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}$ 得 $A,B$ 坐标关系，求直线 $AB$ 方程。

✅【答案】

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(1) $C_2:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$

(2) $AB:y=x$ 或 $y=-x$

✍【详细解析】

Abstract

$C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1$，$a_1=2,b_1=1,c_1=\sqrt{3}$，离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$C_2$ 以 $C_1$ 长轴（$2a_1=4$）为短轴，故 $b_2=2$；离心率相同 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，

设 $a_2$，$\frac{\sqrt{a_2^2-4}}{a_2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow a_2^2=16$。故 $C_2:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$（长轴在 $x$ 轴）。

（注：若长轴在 $y$ 轴则 $C_2:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$，以答案册为准）

(2) 设 $A(x_1,y_1)\in C_1$，$B(x_2,y_2)\in C_2$，$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}\Rightarrow (x_2,y_2)=2(x_1,y_1)$。

代入两椭圆方程并联立，得直线 $AB$ 方程 $y=x$ 或 $y=-x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的标准方程

核心方法：椭圆的几何性质

避坑指南：共线向量与直线方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于椭圆的性质与向量结合

结论推广：可推广到两圆锥曲线间的向量关系

方法推广：离心率 $e=\frac{c}{a}$ 与 $a^2=b^2+c^2$ 是关键

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-21 解-椭圆的标准方程与几何性质

• 2005-全国卷II理-21 解-椭圆的标准方程与几何性质

• 2005-山东卷理-12 单-直线关于点的对称直线方程