2012-陕西卷理-20 解-分布列与期望

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列与期望，以及频率估计概率。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)）

某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

| 办理业务所需的时间（分） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

|---|---|---|---|---|---|

| 频率 | 0.1 | 0.4 | 0.3 | 0.1 | 0.1 |

从第一个顾客开始办理业务时计时.

(1) 估计第三个顾客恰好等待 $4$ 分钟开始办理业务的概率；

(2) $X$ 表示至第 $2$ 分钟末已办理完业务的顾客人数，求 $X$ 的分布列及数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 第三个顾客恰好等待 4 分钟，需前两个顾客用时和为 4。

2. 枚举前两顾客用时组合（频率作概率）。

3. (2) 求 $X$（前 2 分钟办完人数）的分布列与期望。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $0.22$

(2) $P(X=0)=0.5$，$P(X=1)=0.49$，$P(X=2)=0.01$，$E(X)=0.51$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 第三个顾客恰等 4 分钟 $⟺$ 前两个顾客总用时 $4$ 分钟，组合 $(1,3),(3,1),(2,2)$。

概率 $=2\times 0.1\times 0.3+0.4\times 0.4=0.06+0.16=0.22$。

(2) $X=0$：前两顾客都未办完（用时都 $>2$），$P=0.5$。

$X=1$：恰好一人办完，$P=0.49$；$X=2$：两人都办完，$P=0.01$。

$E(X)=0\times 0.5+1\times 0.49+2\times 0.01=0.51$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：离散型随机变量的分布列

核心方法：数学期望

避坑指南：频率与概率

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于概率统计中的分布列与期望

结论推广：可推广到排队、服务等实际问题

方法推广：期望 $E(X)=\sum x_i{p}_i$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-20 解-相互独立事件的概率

• 2005-全国卷II理-19 解-离散型随机变量的概率分布

• 2005-全国卷III理-15 填-点到直线的距离公式