2012-陕西卷理-21 解-导数与零点

本题导读

本题考查导数与函数零点，以及数列单调性的判定。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)） 设函数 $f_n(x)=x^n+bx+c$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$b,c\in \mathbb{R}$）.

(1) 设 $n⩾2$，$b=1$，$c=-1$，证明：$f_n(x)$ 在区间 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 内存在唯一零点；

(2) 设 $n=2$，若对任意 $x_1,x_2\in [-1,1]$，有 $|f_2(x_1)-f_2(x_2)|⩽4$，求 $b$ 的取值范围；

(3) 在 (1) 的条件下，设 $x_n$ 是 $f_n(x)$ 在 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 内的零点，判断数列 $x_2,x_3,\cdots ,x_n,\cdots$ 的增减性.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 证明 $f_n(x)$ 在 $(\frac{1}{2},1)$ 内存在唯一零点：用零点存在性 + 单调性。
2. (2) 由 $|f_2(x_1)-f_2(x_2)|⩽4$ 求 $b$ 范围。
3. (3) 比较 $x_n$ 与 $x_{n+1}$ 判断增减性。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $-2⩽b⩽2$

(3) 数列为递增数列

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f_n(x)=x^n+x-1$，$f_n(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2}{)}^n-\frac{1}{2}<0$，$f_n(1)=1>0$， $f_n^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}+1>0$（$x\in (\frac{1}{2},1)$），故 $f_n(x)$ 单调递增，存在唯一零点。 (2) $n=2$ 时 $f_2(x)=x^2+bx+c$，$|f_2(x_1)-f_2(x_2)|⩽4$ 对任意 $x_1,x_2\in [-1,1]$ 成立， 等价于 $f_2$ 在 $[-1,1]$ 上最大值与最小值之差不超 $4$，解得 $-2⩽b⩽2$。 (3) 由 $f_n(x_n)=0$ 与 $f_{n+1}(x_n)$ 的符号关系，可证 $x_{n+1}>x_n$，数列递增。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的应用（零点）

核心方法：函数零点存在定理

避坑指南：数列单调性

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于导数与零点综合

结论推广：可推广到含参函数零点问题

方法推广：零点存在性 + 单调性 $\Rightarrow$ 唯一零点

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

• 05.02 函数的四大性质 类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷II理-21 解-函数单调性最值

• 2007-湖南卷理-21 解-割线斜率单调性性质

• 2007-辽宁卷理-21 解-函数单调性数列单调性证明