2013-北京卷理-16 解-图表阅读与数据提取

本题导读

本题考查图表阅读与数据提取。核心在于列表法、枚举法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） 如图是预测到的某地 5 月 1 日至 14 日的空气质量指数（AQI）趋势图.规定：AQI 小于 100 表示空气质量优良，AQI 大于 200 表示空气重度污染.某人随机选择 5 月 1 日至 5 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天.

(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；

(2)设 $X$ 为此人停留期间空气质量优良的天数，求 $X$ 的分布列与数学期望；

(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（当日优良概率）：
   • 确定总天数：1 日至 13 日共 13 天，即样本量 $n=13$。
   • 提取信息：从图中找出 AQI < 100 的日期。
   • 计算概率：利用古典概型 $P=\frac{\text{优良天数}}{\text{总天数}}$。
2. 第二问（分布列与期望）：
   • 确定 $X$ 取值：停留 2 天，优良天数可能为 $0,1,2$。
   • 样本空间：共 13 种到达方案（$(1,2),(2,3),\dots ,(13,14)$）。
   • 枚举计数：分别统计 $X=0,1,2$ 对应的到达日期组数。
   • 求期望：代入公式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$。
3. 第三问（方差判断）：
   • 方差含义：反映数据的波动大小。
   • 观察趋势：寻找图中数值落差最大、起伏最剧烈的一段（3天）。

✅【答案】

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$X=2$；$X=1$；$X=0$；5 月 5 日

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 由图可知，5月1日至13日中，空气质量指数小于 100 的日期有：1日(86)、2日(25)、3日(57)、7日(40)、12日(86)、13日(79)，共 6 天。 由于随机选择 13 天中的某一天到达，且每种选择是等可能的， 故此人到达当日空气质量优良的概率 $P=\frac{6}{13}$。

（Ⅱ）解： 此人停留的 2 天情况共有 13 种，分别是： (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10), (10,11), (11,12), (12,13), (13,14)。 记优良天数为“优”，非优良为“否”：

• $X=2$（两天均优）：(1,2), (2,3), (12,13), (13,14)，共 4 种；
• $X=1$（仅一天优）：(3,4), (6,7), (7,8), (11,12)，共 4 种；
• $X=0$（两天均非优）：(4,5), (5,6), (8,9), (9,10), (10,11)，共 5 种。

由此得到 $X$ 的分布列：

$X$	0	1	2
$P$	$\frac{5}{13}$	$\frac{4}{13}$	$\frac{4}{13}$

$X$ 的数学期望 $E(X)=0\times \frac{5}{13}+1\times \frac{4}{13}+2\times \frac{4}{13}=\frac{12}{13}$。

（Ⅲ）解： 观察图中数据波动，5月5日(220)、6日(160)、7日(40)这三天的指数值落差极大。 故从 5 月 5 日 开始连续三天的空气质量指数方差最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型的定义及随机变量期望的计算。

核心方法：“穷举法”。在样本空间较小（如本题的13种可能）时，列表枚举每种情况是最稳妥、不容易漏算的方法。

避坑指南：计算 $X=2$ 时，容易漏掉最后一组 (13,14)，因为 14 日虽然不在到达日范围内，但属于停留日的第二天。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正态分布的概念、方差的计算公式 $S^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$。

结论推广：若求空气重度污染的概率，只需寻找指数大于 200 的点（如 5日、8日）。

方法推广：在统计大题中，第一步永远是准确提取图表中的原始离散数据。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)