2013-大纲卷文-19 解-线线垂直与点面距离

本题导读

本题考查直线与平面垂直的判定与性质。核心在于建系坐标法、数量积证线线垂直的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，$\angle ABC=\angle BAD=90^{\circ }$，$BC=2AD$，$△PAB$ 与 $△PAD$ 都是边长为 $2$ 的等边三角形.

(1)证明：$PB\perp CD$；

(2)求点 $A$ 到平面 $PCD$ 的距离.

🔍【思路分析】

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1. $AB=AD=2$，$BC=4$。建系：$A(0,0,0)$、$B(2,0,0)$、$D(0,2,0)$、$C(2,4,0)$，$P(1,1,\sqrt{2})$。
2. $\overrightarrow{BP}=(-1,1,\sqrt{2})$，$\overrightarrow{DC}=(2,2,0)$，数量积 $=-2+2=0$。
3. 平面 $PCD$ 法向量 $\vec{n}=(\sqrt{2},-\sqrt{2},-2)$，$d=\frac{|\overrightarrow{DP}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$。

✅【答案】

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(1) 见解析；(2) $1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $△PAB$、$△PAD$ 均为边长 $2$ 的等边三角形，得 $AB=AD=2$，又 $BC=2AD=4$。 由 $\angle BAD=90^{\circ }$、$\angle ABC=90^{\circ }$，以 $A$ 为原点、$AB$ 为 $x$ 轴、$AD$ 为 $y$ 轴、竖直向上为 $z$ 轴建系： $A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,4,0).$ 设 $P(x,y,z)$：由 $PA=PB$ 得 $x=1$；由 $PA=PD$ 得 $y=1$；再由 $PA=2$ 得 $1+1+z^2=4$，取 $z>0$ 得 $P(1,1,\sqrt{2})$。 于是 $\overrightarrow{BP}=(-1,1,\sqrt{2}),\overrightarrow{DC}=(2,2,0),$ $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{DC}=-2+2+0=0,$ 所以 $PB\perp CD$。 (2) $\overrightarrow{DC}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{DP}=(1,-1,\sqrt{2})$。设平面 $PCD$ 的法向量 $\vec{n}=(u,v,w)$： $\{\begin{array}{l}2u+2v=0,\\ u-v+\sqrt{2}w=0,\end{array}$ 取 $u=\sqrt{2}$，得 $v=-\sqrt{2}$，$w=-2$，即 $\vec{n}=(\sqrt{2},-\sqrt{2},-2)$，$|\vec{n}|=\sqrt{2+2+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。 点 $A$ 到平面 $PCD$ 的距离 $d=\frac{|\overrightarrow{DA}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|(0,-2,0)\cdot (\sqrt{2},-\sqrt{2},-2)|}{2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=1.$ 所以点 $A$ 到平面 $PCD$ 的距离为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量：线线垂直与点面距离

核心方法：建系后 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{DC}=0$ 证垂直；法向量 + 点到平面距离公式求 $d$

避坑指南：点 $P$ 的竖坐标由 $PA=2$ 定出 $P(1,1,\sqrt{2})$——$\sqrt{2}$ 别写成 $2$；距离公式分子是 $\overrightarrow{DA}\cdot \vec{n}$ 的绝对值，分母是 $|\vec{n}|$，两项都别漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间向量与立体几何综合（全国卷必考）。

结论推广：垂直 $⟺$ 数量积为零；点 $A$ 到平面 $\alpha$ 的距离 $d=\frac{|\overrightarrow{DA}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$（$D\in \alpha$，$\vec{n}$ 为法向量）。

方法推广：立体几何向量法四步：按垂直条件建系写坐标 → 数量积证垂直 → 叉积求法向量 → 代距离公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 21.04 空间向量求距离

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-19 解-三垂线与二面角
• 2013年大纲版理-19