2013-安徽卷理-04 单-单调性判定

本题导读

本题考查函数的单调性，以及单调性的判定。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)） “$a\le 0$”是“函数 $f(x)=|(ax-1)x|$ 在区间 $(0,+\infty )$ 内单调递增”的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 函数解析式简化：$f(x)=|a{x}^2-x|$。

2. 分析充分性：若 $a\le 0$，讨论二次函数 $y=a{x}^2-x$ 的性质及其绝对值化后的图象走势。

3. 分析必要性：若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 单调递增，反推 $a$ 的取值范围。

4. 分类讨论：

   • 当 $a=0$ 时，$f(x)=|-x|=|x|$。

   • 当 $a<0$ 时，开口向下，零点为 $0$ 和 $1/a$（注意 $1/a<0$）。

   • 当 $a>0$ 时，开口向上，零点为 $0$ 和 $1/a$（注意 $1/a>0$）。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证充分性 ($a\le 0⟹$ 增函数？)

• 若 $a=0$，则 $f(x)=|0\cdot x^2-x|=|-x|=x$（在 $x>0$ 时）。$y=x$ 在 $(0,+\infty )$ 上可知单调递增。

• 若 $a<0$，令 $g(x)=a{x}^2-x$。开口向下，对称轴 $x=\frac{1}{2a}<0$。

  当 $x>0$ 时，$g(x)$ 始终小于 $0$ 且单调递减。

  那么 $f(x)=|g(x)|=-g(x)=-a{x}^2+x$。

  由于 $-a>0$，开口向上，对称轴 $x=\frac{-1}{2(-a)}=\frac{1}{2a}<0$。

  因此在 $(0,+\infty )$ 这一段，$f(x)$ 位于对称轴右侧，单调递增。

  综上，充分性成立。

第二步：验证必要性 (增函数 $⟹a\le 0$？)

• 若 $a>0$，二次函数 $g(x)=a{x}^2-x$ 开口向上，零点为 $x_1=0,x_2=\frac{1}{a}>0$。

  图象在 $(0,\frac{1}{a})$ 之间位于 $x$ 轴下方。

  经过绝对值翻折后，$f(x)$ 在 $(0,\frac{1}{a})$ 内的图象呈“拱形”（先增后减）。

  为了让 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内单调递增，区间内不能出现翻折后的减区间，这要求 $\frac{1}{a}$ 必须 $\le 0$。

  但已知 $a>0$ 时 $\frac{1}{a}>0$，矛盾。

  因此，若要单调递增，必须有 $a\le 0$。

  综上，必要性成立。

第三步：得出结论

充分性和必要性均成立，故为充分必要条件。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值函数 $f(x)=|g(x)|$ 的单调性。若 $g(x)\le 0$，则 $f(x)$ 的增减性与 $g(x)$ 相反。

核心方法：“零点法”。绝对值函数单调性的转折点往往出现在内层函数的零点处。

避坑指南：容易忽略 $a=0$ 的特殊情况。此外，对于 $a>0$ 的图象翻折过程，必须意识到零点 $1/a$ 导致了单调性的改变。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次函数最值、绝对值不等式。

结论推广：对于 $f(x)=|a{x}^2+bx+c|$ 在某区间上的单调性，优先确定判别式 $\Delta$ 和零点位置。

方法推广：涉及充分必要条件的判定，最稳妥的方法是分别证明原命题和逆命题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-06 单-导数单调性
• 2014-新课标II卷文-11 单-函数单调性
• 2023-新高考I卷-04 单-复合函数单调性