2013-安徽卷理-12 填-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)） 设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对边的长分别为 $a,b,c$.若 $b+c=2a$，$3\sin A=5\sin B$，则角 $C=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 建立边长关系：由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 结合 $3\sin A=5\sin B$，可得 $3a=5b$，从而得到 $a$ 与 $b$ 的比例关系。
2. 消元处理：已知 $b+c=2a$，将上一步得到的 $a,b$ 关系代入，用统一的变量（如 $b$）表示出 $a,b,c$ 三条边的长度。
3. 求角：已知三边长度的比例关系，利用余弦定理 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ 求出 $\cos C$ 的值。
4. 确定角度：根据 $\cos C$ 的值及三角形内角范围 $C\in (0,\pi )$ 确定角 $C$。

✅【答案】

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$C=\frac{2\pi }{3}$（或 $120^{\circ }$）

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用正弦定理转化条件 由正弦定理知 $\sin A:\sin B=a:b$。 已知 $3\sin A=5\sin B$，则 $\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{5}{3}$， 所以 $a:b=5:3$，即 $a=\frac{5}{3}b$。

第二步：计算三边比例 已知 $b+c=2a$，代入 $a=\frac{5}{3}b$： $b+c=2\times \left(\frac{5}{3}b\right)=\frac{10}{3}b$ $c=\frac{10}{3}b-b=\frac{7}{3}b$ 此时三边之比为 $a:b:c=\frac{5}{3}b:b:\frac{7}{3}b=5:3:7$。

第三步：应用余弦定理 由余弦定理得： $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{5^2+3^2-7^2}{2\times 5\times 3}$ $\cos C=\frac{25+9-49}{30}=\frac{34-49}{30}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}$

第四步：确定角度 因为 $C\in (0,\pi )$，且 $\cos C=-\frac{1}{2}$， 所以 $C=\frac{2\pi }{3}$（或 $120^{\circ }$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理完成“角化边”，余弦定理完成“边求角”。

核心方法：“比例代换”。在解三角形中，如果只给出比例或线性关系而没有具体数值，设其中一量为基准（或直接使用比值系数 $k$）是极其有效的。

避坑指南：计算余弦值时注意符号。$\cos C$ 为负数说明 $C$ 是钝角，常见的数值如 $-1/2$ 对应 $120^{\circ }$，$-\sqrt{2}/2$ 对应 $135^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$、射影定理。

结论推广：若三边满足 $a:b:c=5:3:7$，则该三角形必有一个角为 $120^{\circ }$。

方法推广：涉及三角形周长、面积与角度关系的题目，统一转化到“边”或“角”的一侧处理是解题通则。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理
• 2014-湖北卷文-13 填-正弦定理
• 2014-江西卷文-05 单-正弦定理