2013-广东卷理-04 单-离散型随机变量的数学期望

本题导读

本题考查随机变量及其分布，以及离散型随机变量的数学期望。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(理)） 已知离散型随机变量 $X$ 的分布列为：

X	1	2	3
$P$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{10}$

则 $X$ 的数学期望 $E(X)=$()

A. $\frac{3}{2}$　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $\frac{5}{2}$　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确定义：若离散型随机变量 $X$ 的可能取值为 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，对应的概率为 $p_1,p_2,\dots ,p_n$。

2. 期望公式：$E(X)=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n$。

3. 代入计算：将表格中的数值对应相乘后求和。注意计算过程中分数通分。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：检查分布列性质（可选）

验证概率之和是否为 1：

$\frac{3}{5}+\frac{3}{10}+\frac{1}{10}=\frac{6}{10}+\frac{3}{10}+\frac{1}{10}=1$。

符合概率分布定义。

第二步：应用公式进行计算

$E(X)=1\times \frac{3}{5}+2\times \frac{3}{10}+3\times \frac{1}{10}$

将各项转化为以 10 为分母：

$E(X)=\frac{6}{10}+\frac{6}{10}+\frac{3}{10}$

$E(X)=\frac{15}{10}$

进行约分：

$E(X)=\frac{3}{2}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数学期望的求法。 2. 物理意义：数学期望反映了随机变量取值的“平均水平”。本题中，变量主要集中在 1 附近（概率达 0.6），因此期望值 $1.5$ 处于 1 与 2 之间，符合直观认知。

核心方法：见详细解析

避坑指南：计算时注意不要将变量值与概率写反，同时确保分数加法的准确性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：方差 $V(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$。本题若求方差，需先求出 $E(X^2)=1^2\cdot \frac{3}{5}+2^2\cdot \frac{3}{10}+3^2\cdot \frac{1}{10}$。

结论推广：见详细解析。

方法推广：对于符合特定分布（如二项分布 $B(n,p)$）的随机变量，其期望可简化为 $E(X)=np$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

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• 2025-上海卷-06 填-期望
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