2013-新课标II卷理-10 单-导数极值

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 10. 已知函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$，下列结论中错误的是()

A. $\exists x_0\in \mathbf{R}$, $f(x_0)=0$

B. 函数 $y=f(x)$ 的图象是中心对称图形

C. 若 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点，则 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,x_0)$ 单调递减

D. 若 $x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点，则 $f^{\prime }(x_0)=0$

🔍【思路分析】

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1. 分析零点（A选项）：根据三次函数在无穷远处的极限表现及连续性，判断是否存在实数根。
2. 分析对称性（B选项）：所有三次函数 $y=A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$ 的图象都关于其拐点对称。
3. 分析单调性与极值（C选项）：若存在极值，分析极小值点左侧的单调性分布，判断是否在 $(-\infty ,x_0)$ 全区间递减。
4. 分析极值必要条件（D选项）：利用费马引理判断可导函数极值点处的导数值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证 A 选项 因为 $f(x)$ 是三次多项式，最高次项系数为正： ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$，${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$。 由于多项式函数在 $\mathbf{R}$ 上连续，根据连续函数的介值定理（或零点存在性定理），其图象必与 $x$ 轴至少有一个交点，即 $f(x)=0$ 必有实根。 故 A 正确。

第二步：验证 B 选项 三次函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ 的二阶导数为 $f^{\prime \prime }(x)=6x+2a$。 令 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 得 $x=-\frac{a}{3}$。 三次函数图象关于点 $(-\frac{a}{3},f(-\frac{a}{3}))$ 成中心对称。 故 B 正确。

第三步：验证 D 选项 由于 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上可导，根据极值的必要条件：若 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，则在该点处的导数必为 0，即 $f^{\prime }(x_0)=0$。 故 D 正确。

第四步：验证 C 选项（寻找错误项） 若 $x_0$ 是极小值点，说明导函数 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b=0$ 有两个不相等的实根，设为 $x_1,x_0$ 且 $x_1<x_0$。 根据二次导函数的符号分布：

• 当 $x\in (-\infty ,x_1)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (x_1,x_0)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减。 由此可见，在区间 $(-\infty ,x_0)$ 上，函数先增后减，并不单调。只有在区间 $(x_1,x_0)$ 上才单调递减。 故 C 错误。

综上所述，错误的是 C。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数的单调性与极值分布；可导函数极值的必要条件。

核心方法：通过对导函数 $f^{\prime }(x)$（开口向上的二次函数）的正负分析，还原原函数 $f(x)$ 的增减性变化图表。

避坑指南：注意区分“极值点”与“单调区间边界点”的联系。极小值点左侧存在一个极大值点（如果存在极值的话），这限制了单调递减区间的范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：连续函数的介值定理、导数与切线方程、二阶导数判断函数的凹凸性。

结论推广：三次函数 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ 的中心对称点（拐点）横坐标始终为 $x=-\frac{b}{3a}$。

方法推广：面对“结论错误的是”这类选择题，采用排除法并结合特殊函数图象（数形结合）往往能快速锁定答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2025-上海卷-19 解-导数极值
• 2023-新高考II卷-11 多-导数极值
• 2014-福建卷文-22 解-导数