2013-新课标I卷理-05 单-程序框图

本题导读

本题考查算法与程序框图，以及条件结构。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 执行程序框图，如果输入的 $t\in [-1,3]$，则输出的 $s$ 属于()

A. $[-3,4]$　　　B. $[-5,2]$　　　C. $[-4,3]$　　　D. $[-2,5]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 翻译程序框图：观察框图中的判断框 $t<1$，这是一个条件结构。
   • 当条件“是”时，执行 $s=3t$；
   • 当条件“否”时，执行 $s=4t-t^2$。
2. 构建分段函数：根据框图逻辑，将输出 $s$ 表示为关于输入 $t$ 的分段函数解析式。
3. 分段求解值域：结合输入范围 $t\in [-1,3]$，分别计算各段函数的值域。
4. 求并集：将各段的值域进行合并，得出最终输出 $s$ 的范围。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract


第一步：确定分段函数解析式 由程序框图可知，输出 $s$ 与输入 $t$ 的函数关系为： $s=\{\begin{array}{ll}3t,& -1\le t<1\\ 4t-t^2,& 1\le t\le 3\end{array}$

第二步：分段计算值域 5. 当 $-1\le t<1$ 时： $s=3t$ 是线性增函数。 则 $s\in [3\times (-1),3\times 1)=[-3,3)$。

6. 当 $1\le t\le 3$ 时： $s=4t-t^2=-(t-2{)}^2+4$。 这是一个开口向下、顶点为 $(2,4)$ 的二次函数。 在该区间内，当 $t=2$ 时，$s$ 取得最大值 $4$； 当 $t=1$ 时，$s=3$；当 $t=3$ 时，$s=3$。 则 $s\in [3,4]$。

第三步：求并集得出结果 综合上述两段： $s\in [-3,3)\cup [3,4]=[-3,4]$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：程序框图的逻辑识读；二次函数在闭区间上的值域。

核心方法：数形结合。画出分段函数的图像可以直观、快速地确定最高点和最低点，避免代数运算失误。

避坑指南：- 注意判断框条件的临界值。本题中 $t=1$ 处的函数值在两段衔接处恰好相等（均为3），如果不连续需注意开闭区间。 - 二次函数求最值一定要先看顶点是否在区间内。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的连续性、复合函数的范围。

结论推广：对于任何分支结构的程序框图，均可转化为分段函数处理。

方法推广：处理此类问题时，若函数单调性复杂，应先利用导数或配方法分析单调性后再求值域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-07 单-程序框图
• 2015-福建卷文-04 单-程序框图
• 2015-湖南卷文-05 单-程序框图