2013-江西卷文-10 单-动圆截弧图象

本题导读

本题考查函数的图象识别，以及弧长公式。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(文)） 如图，已知 $l_1\perp l_2$，圆心在 $l_1$ 上、半径为 $1\mathrm{m}$ 的圆 $O$ 在 $t=0$ 时与 $l_2$ 相切于点 $A$，圆 $O$ 沿 $l_1$ 以 $1m/s$ 的速度匀速向上移动，圆被直线 $l_2$ 所截上方圆弧长记为 $x$，令 $y=\cos x$，则 $y$ 与时间 $t$（$0⩽t⩽1$，单位：s）的函数 $y=f(t)$ 的图象大致为()

🔍【思路分析】

破题导航

1. $t=0$：圆与 $l_2$ 相切，上方弧长 $x=0$，$y=1$。
2. $t=1$：圆心恰在 $l_2$ 上，上方弧为半圆 $x=\pi$，$y=-1$。
3. 中间 $x=\pi -2\arcsin (1-t)$ 单调增且增速渐快，$y=\cos x$ 单调减、先缓后陡 → 选 B。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

设 $t$ 秒时圆心到 $l_2$ 的距离为 $d$，则 $d=1-t$（$t=0$ 时圆在 $l_2$ 下方相切，$d=1$；$t=1$ 时圆心恰落在 $l_2$ 上，$d=0$）。 此时圆与 $l_2$ 两交点处，半径与竖直方向夹角的正弦为 $\sin \theta =\frac{d}{1}=1-t$，故上方（$l_2$ 上方）圆弧所对圆心角为 $\alpha =\pi -2\arcsin (1-t),$ 弧长 $x=\alpha =\pi -2\arcsin (1-t)\in [0,\pi ]$（半径为 1）。 两端点：$t=0$ 时 $x=0$，$y=\cos 0=1$；$t=1$ 时 $x=\pi$，$y=\cos \pi =-1$。 单调性：$x(t)$ 随 $t$ 单调递增，而 $\cos x$ 在 $[0,\pi ]$ 上单调递减，故 $y=f(t)$ 单调递减，从 $1$ 降到 $-1$。 变化快慢：$\frac{dx}{dt}=\frac{2}{\sqrt{1-(1-t{)}^2}}$ 随 $t$ 增大而增大，即 $x$ 先慢后快，图象先缓后陡。 对照选项，图象从 $1$ 出发单调下降且能取到 $-1$、先缓后陡的只有 B。 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何背景下的函数图象识别

核心方法：圆心相对 $l_2$ 高度 $h=t-1$，上方弧长 $x=\pi -2\arcsin (1-t)\in [0,\pi ]$；$y=\cos x$ 从 $1$ 单调降到 $-1$（$t=1$ 时 $x=\pi$）

避坑指南：动态几何题先抓两端与特殊点：$t=0$ 时圆与 $l_2$ 相切，上方弧长为 0，$y=\cos 0=1$；$t=1$ 时圆心恰在 $l_2$ 上，上方弧为半圆 $x=\pi$，$y=-1$——图象必须取得到 $-1$，可直接排除取值范围不到 $-1$ 的选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的弧长模型 + 余弦函数图象（动圆截线问题）。

结论推广：端点定位法；弧长公式建模。

方法推广：设圆心高度 → 弧长表为 $t$ 的函数 → 看 $y=\cos x$ 的两端与单调性 → 对号入座。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-09 单-函数图象识别
• 2013-山东卷文-09 单-函数图象识别
• 2013-大纲卷文-09 单-三角函数图象