2013-江西卷文-11 填-幂函数切线过原点

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及幂函数。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(文)） 若曲线 $y=x^{\alpha }+1$（$\alpha \in \mathbf{R}$）在点 $(1,2)$ 处的切线经过坐标原点，则 $\alpha =$ 　　.

🔍【思路分析】

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1. $y\prime =\alpha x^{\alpha -1}$，$y\prime {|}_{x=1}=\alpha$。
2. 切线过 $(0,0)$、$(1,2)$，斜率 $2$。
3. $\alpha =2$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

$y\prime =\alpha x^{\alpha -1}$，在 $x=1$ 处切线斜率 $k=y\prime {|}_{x=1}=\alpha$。 切线过切点 $(1,2)$ 与原点 $(0,0)$，斜率 $k=\frac{2-0}{1-0}=2.$ 故 $\alpha =2$。此时曲线 $y=x^2+1$ 在 $(1,2)$ 处切线 $y=2x$，确实过原点，验证成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：幂函数曲线的切线（过原点）

核心方法：$y=x^{\alpha }+1$，$y\prime =\alpha x^{\alpha -1}$，$y\prime {|}_{x=1}=\alpha$；切线过 $(0,0)$ 与 $(1,2)$，斜率 $=2$ → $\alpha =2$

避坑指南：切线过原点 ≠ 原点是切点——切点是 $(1,2)$，用”两点定斜率”$=\frac{2-0}{1-0}=2$ 与导数值 $y\prime (1)$ 相等列方程；别把 $y\prime (0)$ 或把切点代入曲线方程解 $\alpha$（$\alpha$ 已由斜率定死）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数的几何意义——切线方程（幂函数曲线）。

结论推广：两点斜率法；导数值匹配。

方法推广：定切点 → 切线斜率（过原点）→ 令 $y\prime (1)$ 等于该斜率 → 解参数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-12 填-导数切线平行
• 2013-北京卷文-18 解-导数切线交点
• 2013-浙江卷文-21 解-导数切线含参最值