2013-江西卷理-12 填-向量数量积

本题导读

本题考查向量的数量积，以及数量积的定义。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)） 设 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 为单位向量，且 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ 的夹角为 $\frac{\pi }{3}$，若 $\vec{a}=\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2}$，$\vec{b}=2\overrightarrow{e_1}$，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确投影定义：向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影是一个数量，其公式为 $|\vec{a}|\cos \theta$（其中 $\theta$ 为两向量夹角）。
2. 公式转化：由于 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$，故投影公式可转化为 $\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$。
3. 计算数量积与模长：
   • 利用向量分配律计算 $\vec{a}\cdot \vec{b}$。
   • 计算分母 $|\vec{b}|$ 的值。
4. 代入求值：将已知条件（单位向量模为 1，夹角余弦为 $\frac{1}{2}$）代入。

✅【答案】

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$\frac{5}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：列出投影计算公式。 向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为： $d=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$

第二步：计算分子 $\vec{a}\cdot \vec{b}$。 将 $\vec{a}=\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2},\vec{b}=2\overrightarrow{e_1}$ 代入： $\vec{a}\cdot \vec{b}=(\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2})\cdot 2\overrightarrow{e_1}=2{\overrightarrow{e_1}}^2+6\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}$ 因为 $\overrightarrow{e_1}$ 是单位向量，所以 ${\overrightarrow{e_1}}^2=1$。 因为夹角为 $\frac{\pi }{3}$，所以 $\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}=|\overrightarrow{e_1}||\overrightarrow{e_2}|\cos \frac{\pi }{3}=1\times 1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。 代入得： $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times 1+6\times \frac{1}{2}=2+3=5$

第三步：计算分母 $|\vec{b}|$。 $|\vec{b}|=|2\overrightarrow{e_1}|=2|\overrightarrow{e_1}|=2$

第四步：求最终结果。 $d=\frac{5}{2}$

故填入答案为：$\frac{5}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：投影是一个标量（实数），而不是向量。公式 $\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ 是最快捷的计算手段。 2. 易错点： * 混淆投影与投影向量：投影向量是 $\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}\vec{b}$，多了一个方向。 * 夹角计算：注意夹角 $\frac{\pi }{3}$ 对应的余…

核心方法：见详细解析

避坑指南：处理此类问题时，先观察基底向量（如 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$）是否为单位向量或是否垂直，这会极大简化数量积的展开。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量模的性质、数量积的物理背景（功的计算）。

结论推广：投影的正负反映了夹角的范围。若投影为正，夹角为锐角；若投影为负，夹角为钝角；若投影为 0，两向量垂直。

方法推广：在坐标系中，若 $\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)$，则投影为 $\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2015-湖北卷文-11 填-向量数量积
• 2015-浙江卷文-13 填-向量数量积