2013-湖南卷理-03 单-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 在锐角 $△ABC$ 中，角 $A,B$ 所对的边长分别为 $a,b$.若 $2a\sin B=\sqrt{3}b$，则角 $A$ 等于()

A. $\frac{\pi }{12}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别正弦定理：看到边长与对角正弦值的混合等式，应优先考虑正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$。
2. 边角转化：利用正弦定理将等式中的边 $a,b$ 转化为其对角的正弦值，或者将正弦值转化为边。
3. 求值：整理等式求出 $\sin A$。
4. 确定范围：根据“锐角 $△ABC$”这一限制条件，排除钝角可能，确定唯一的角 $A$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：运用正弦定理 由正弦定理可知：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}⟹b=\frac{a\sin B}{\sin A}$。

第二步：代入已知等式 将上述比例关系代入题干已知等式 $2a\sin B=\sqrt{3}b$： $2a\sin B=\sqrt{3}\cdot \frac{a\sin B}{\sin A}$

第三步：约简与求解 在三角形中，$a\ne 0$ 且 $\sin B\ne 0$，等式两边同时约去 $a\sin B$ 得： $2=\frac{\sqrt{3}}{\sin A}$ 整理得： $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$

第四步：确定角 $A$ 在三角形内，满足 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的角 $A$ 可能为 $\frac{\pi }{3}$ 或 $\frac{2\pi }{3}$。 因为题目给定为锐角 $△ABC$，所以 $A<\frac{\pi }{2}$。 故 $A=\frac{\pi }{3}$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：**“边角转化”**是解三角形最通用的策略。通常将边化为角（即用 $\sin A,\sin B$ 替换 $a,b$）处理线性关系更为直接。

避坑指南：必须注意“锐角三角形”这一前置条件。如果不是锐角三角形，$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 会对应两个解，这也是解三角形题目中常见的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：特殊角的三角函数值表。

结论推广：若已知 $ma\sin B=nb$，则 $\sin A=\frac{n}{m}$。

方法推广：若等式中含有平方项（如 $a^2=b^2+c^2-bc$），则应优先考虑余弦定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理
• 2014-湖北卷文-13 填-正弦定理
• 2014-江西卷文-05 单-正弦定理