2013-福建卷理-07 单-向量数量积

本题导读

本题考查向量的数量积，以及数量积的坐标表示。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 在四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{AC}=(1,2)$，$\overrightarrow{BD}=(-4,2)$，则该四边形的面积为()

A. $\sqrt{5}$　　　　　　　B. $2\sqrt{5}$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $10$

🔍【思路分析】

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1. 识别向量含义：$\overrightarrow{AC}$ 和 $\overrightarrow{BD}$ 分别是四边形 $ABCD$ 的两条对角线向量。
2. 检查对角线位置关系：计算两个向量的数量积（点积）。
   • 若 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0$，则对角线互相垂直。
3. 应用面积公式：
   • 对于对角线互相垂直的任意四边形，其面积 $S=\frac{1}{2}|AC|\cdot |BD|$。
   • 注意：本题中对角线向量的夹角可能不为 $90^{\circ }$，若不垂直，则面积公式应为 $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{BD}|\sin \theta$（其中 $\theta$ 为对角线夹角）。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract


第一步：计算向量的数量积 已知 $\overrightarrow{AC}=(1,2)$，$\overrightarrow{BD}=(-4,2)$。 计算 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=1\times (-4)+2\times 2=-4+4=0$。 由于数量积为 0，所以 $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD}$。即四边形的对角线互相垂直。

第二步：计算对角线的长度

• $|AC|=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
• $|BD|=|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{(-4{)}^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

第三步：计算四边形面积 因为对角线互相垂直，所以四边形 $ABCD$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}|AC|\cdot |BD|$ $S=\frac{1}{2}\times \sqrt{5}\times 2\sqrt{5}$ $S=\frac{1}{2}\times 2\times 5=5$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直的充要条件 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 及其在几何图形中的应用。 2. 核心公式：任意对角线垂直的四边形面积公式 $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$。这个结论在菱形、正方形中常用，但在本题这种普通四边形中同样适用。

核心方法：见详细解析

避坑指南：不要盲目使用底乘高，也不要将向量直接相乘得出面积。必须先通过数量积确认其夹角性质。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量模的计算、两向量夹角的余弦公式。

结论推广：任意四边形的面积向量表达：$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{BD}|$（仅限空间向量或通过叉积模定义）。

方法推广：涉及平面几何图形的面积、角度问题，将几何元素坐标化/向量化是极佳的转化思路。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2015-湖北卷文-11 填-向量数量积
• 2015-浙江卷文-13 填-向量数量积