2013-福建卷理-10 单-集合的等势与同构

本题导读

本题考查集合的概念与表示，以及集合的等势与同构。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 设 $S,T$ 是 $\mathbb{R}$ 的两个非空子集，如果存在一个从 $S$ 到 $T$ 的函数 $y=f(x)$ 满足：

(i) $T=\{f(x)|x\in S\}$；

(ii) 对任意 $x_1,x_2\in S$，当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f(x_1)<f(x_2)$，那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是()

A. $A={\mathbb{N}}^{\ast },B=\mathbb{N}$

B. $A=\{x|-1\le x\le 3\},B=\{x|x=-8\text{ 或 }0<x\le 10\}$

C. $A=\{x|0<x<1,B=\mathbb{R}\}$

D. $A=\mathbb{Z},B=\mathbb{Q}$

🔍【思路分析】

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1. 解读定义：
   • 条件 (i) $T=\{f(x)|x\in S\}$ 表明函数 $f$ 是从 $S$ 到 $T$ 的满射。结合 (ii) 的严格单调性，实际上 $f$ 是 $S$ 到 $T$ 的一一映射。
   • 条件 (ii) 表明 $f(x)$ 在 $S$ 上严格单调递增。
2. 验证选项：
   • A 项：考察离散集合。寻找一个增函数将正整数集映射到自然数集。
   • B 项：考察闭区间与不连续集合。看是否能通过分段构造增函数实现映射。
   • C 项：考察开区间与全集。寻找一个在 $(0,1)$ 上严格增且值域为 $\mathbb{R}$ 的函数（如正切类函数）。
   • D 项：考察整数集与有理数集。分析两者的序结构特征（稠密性）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证 A 项 令 $f(x)=x-1$ ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)。 当 $x$ 依次取 $1,2,3,\dots$ 时，$y$ 依次取 $0,1,2,\dots$。 可知 $f(x)$ 满足满射且严格递增。故 $A,B$ 保序同构。

第二步：验证 B 项 构造分段函数： $f(x)=\{\begin{array}{ll}-8,& x=-1\\ \frac{5}{2}(x-1),& -1<x\le 3\end{array}$ (注：解析中给出的函数在 $-1<x\le 3$ 时的范围是 $(-5,5]$，不完全匹配 $0<x\le 10$，但原理是可以通过平移缩放构造一个在断点处依然保持增性的函数。) 更严谨地，令 $x=-1\to y=-8$，将 $(-1,3]$ 映射到 $(0,10]$，取 $f(x)=\frac{10}{4}(x+1)=2.5(x+1)$。 由于 $x>-1$ 时 $f(x)>0$，且整体递增，满足定义。故 B 正确。

第三步：验证 C 项 考虑函数 $f(x)=\tan [\pi (x-\frac{1}{2})]$。 当 $x\in (0,1)$ 时，$\pi (x-\frac{1}{2})\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$。 该函数在该区间内严格单调递增，且值域为 $(-\infty ,+\infty )=\mathbb{R}$。 满足条件。故 C 正确。

第四步：验证 D 项 $\mathbb{Z}$ 是离散集合，其元素之间有“下一个”的概念（不具稠密性）。 $\mathbb{Q}$ 是稠密集合，任意两个有理数之间都有无穷多个有理数。 若存在保序同构 $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}$，则 $f(0)$ 和 $f(1)$ 之间没有任何 $f(n)$ 的值（因为 $0$ 和 $1$ 之间没有整数）。 但根据满射条件，映射后的值域必须涵盖所有的 $T=Q$。 而在 $f(0)$ 和 $f(1)$ 这两个有理数之间，存在无穷多个有理数（如 $\frac{f(0)+f(1)}{2}$），这些有理数在 $S=\mathbb{Z}$ 中找不到原像。 故不存在这样的满射增函数。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的映射本质及集合的序性质。 2. 核心技巧：“稠密性判定”。连续集合（区间）之间通常保序同构；离散集合若步长一致也同构；但离散集合与稠密集合之间无法建立保序的满射。

核心方法：见详细解析

避坑指南：B 选项虽然 $B$ 集合不连续，但只要 $A$ 集合提供的“位置”够用，且能保持大小顺序，依然可以同构。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：康托尔集合论基础、可数集与不可数集。

结论推广：任何两个开区间 $(a,b)$ 与 $(c,d)$ 都是保序同构的。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2026-新高考II卷-02 单-集合
• 2026-天津卷-01 单-集合
• 2026-北京卷-01 单-集合