2013-辽宁卷理-06 单-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理，以及两角和的正弦公式。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边长分别为 $a,b,c$.已知 $a\sin B\cos C+c\sin B\cos A=\frac{1}{2}b$，且 $a>b$，则 $\angle B=$()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{5\pi }{6}$

🔍【思路分析】

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1. 统一边角：观察等式，既有边又有角。利用正弦定理 $a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$ 将等式中的 $a,b,c$ 全部转化为角的正弦。
2. 提取公因式与合并：消去等式两边的 $\sin B$（三角形内角正弦值不为 0），利用两角和的正弦公式 $\sin A\cos C+\cos A\sin C=\sin (A+C)$ 进行化简。
3. 确定数值与范围：利用 $A+B+C=\pi$ 将 $\sin (A+C)$ 转化为 $\sin B$，解出 $\sin B$。结合 $a>b⟹A>B$ 以及三角形内角范围判定 $B$ 的最终值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：边角转化 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，代入原等式： $(2R\sin A)\sin B\cos C+(2R\sin C)\sin B\cos A=\frac{1}{2}(2R\sin B)$ 两边同时除以 $2R\sin B$（可知 $\sin B\ne 0$），得： $\sin A\cos C+\cos A\sin C=\frac{1}{2}$

第二步：公式化简 利用两角和的正弦公式 $\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$，上式变为： $\sin (A+C)=\frac{1}{2}$ 在 $△ABC$ 中，$A+B+C=\pi$，故 $A+C=\pi -B$。 根据诱导公式 $\sin (\pi -B)=\sin B$，所以： $\sin B=\frac{1}{2}$

第三步：范围判定 由 $\sin B=\frac{1}{2}$ 可知 $B=\frac{\pi }{6}$ 或 $B=\frac{5\pi }{6}$。 又已知 $a>b$，根据“大边对大角”性质，必有 $A>B$。 若 $B=\frac{5\pi }{6}$，则 $A+C=\frac{\pi }{6}$，此时 $A<\frac{\pi }{6}$，这与 $A>B$ 矛盾。 因此 $B$ 只能取锐角，即 $B=\frac{\pi }{6}$。

故正确答案为：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

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