2013-陕西卷理-03 单-向量数量积

本题导读

本题考查向量的数量积，以及数量积的定义。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 设 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为向量，则 “$|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$” 是 “$\mathbf{a}//\mathbf{b}$” 的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 分析充分性：从 $|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$ 出发，利用数量积公式 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$（$\theta$ 为夹角），推导夹角 $\theta$ 的取值，判断向量是否平行。
2. 分析必要性：从 $\mathbf{a}//\mathbf{b}$ 出发，确定夹角 $\theta$ 的可能值，代入数量积公式验证等式是否成立。
3. 得出结论：若双向逻辑均成立，则为充要条件。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：从条件推结论（充分性判定） 已知 $|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$。 根据向量数量积定义，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$，其中 $\theta \in [0,\pi ]$。 代入得：$||\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta |=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$。

• 若 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 中含有零向量，等式恒成立，且规定零向量与任意向量平行，结论成立。
• 若 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 均为非零向量，则有 $|\cos \theta |=1$。 解得 $\cos \theta =1$ 或 $\cos \theta =-1$。即 $\theta =0$ 或 $\theta =\pi$。 根据向量平行的定义，当夹角为 $0$ 或 $\pi$ 时，$\mathbf{a}//\mathbf{b}$。 故充分性成立。

第二步：从结论推条件（必要性判定） 已知 $\mathbf{a}//\mathbf{b}$。 则两个向量的夹角 $\theta$ 为 $0$ 或 $\pi$（若包含零向量，等式可知成立）。

• 当 $\theta =0$ 时，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 0=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$，则 $|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$。
• 当 $\theta =\pi$ 时，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \pi =-|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$，则 $|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|=|-|\mathbf{a}||\mathbf{b}||=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$。 故必要性成立。

综上所述：该条件是充分必要条件。

故正确答案为：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积公式及其变形 $|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}||\cos \theta |$。

核心方法：将代数等式转化为几何意义（夹角）。向量平行的充要条件是夹角为 $0$ 或 $\pi$。

避坑指南：注意“平行”包含同向（$0^{\circ }$）和反向（$180^{\circ }$）两种情况。如果已知条件去掉了绝对值符号，即 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$，则仅对应充分不必要条件（即必须同向）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：Cauchy-Schwarz 不等式（柯西-许瓦兹不等式） $|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|\le |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$。本题的条件正是该不等式取等号的特殊情况。

结论推广：- $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0⟺\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$（垂直的充要条件）。 - $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|⟺\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 同向平行。

方法推广：将代数等式转化为几何意义（夹角）。向量平行的充要条件是夹角为 $0$ 或 $\pi$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2015-湖北卷文-11 填-向量数量积
• 2015-浙江卷文-13 填-向量数量积