2013-陕西卷理-04 单-系统抽样

本题导读

本题考查随机抽样，以及系统抽样。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 $1,2,\dots ,840$ 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间 $[481,720]$ 的人数为()

A. 11　　　　　　　B. 12　　　　　　　C. 13　　　　　　　D. 14

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算抽样间距：系统抽样是等距抽样，间距 $k=\frac{\text{总体容量 }N}{\text{样本容量 }n}$。在本题中即每隔多少人抽取 1 人。
2. 计算目标区间长度：确定区间 $[481,720]$ 内包含的职工人数。
3. 确定抽取人数：利用比例关系“区间人数 / 抽样间距”或“区间长度占总体的比例 $\times$ 总抽样人数”来求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算抽样间距 总体人数 $N=840$，样本容量 $n=42$。 抽样间距 $k=\frac{840}{42}=20$。 这意味着在编号序列中，每 20 人中必然且仅有 1 人被抽中。

第二步：计算目标区间的人数 区间为 $[481,720]$。 该区间包含的职工人数为：$720-481+1=240$（人）。

第三步：计算被抽中的人数 由于抽样是等距且分布均匀的，区间内的抽样人数 $m$ 满足： $m=\frac{\text{区间人数}}{\text{间距 }k}=\frac{240}{20}=12\text{（人）}$ 或者通过比例：$\frac{240}{840}\times 42=\frac{2}{7}\times 42=12$（人）。

故正确答案为：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：系统抽样的等距性。在系统抽样中，总体被分为等长的若干段，每段抽一个，因此任何一段区域内抽中的人数与该区域包含的总人数成正比。

核心方法：“间距除法”。只要区间长度是间距的整数倍，结果非常直接。

避坑指南：计算区间长度时，记得“末位 - 首位 + 1”。如果误算为 $720-481=239$，会给计算带来困扰。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：系统抽样的等距性。在系统抽样中，总体被分为等长的若干段，每段抽一个，因此任何一段区域内抽中的人数与该区域包含的总人数成正比。

结论推广：见详细解析。

方法推广：“间距除法”。只要区间长度是间距的整数倍，结果非常直接。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2015-湖南卷文-02 单-系统抽样
• 2014-广东卷文-06 单-系统抽样
• 2014-湖南卷文-03 单-抽样