2014-上海卷理-17 单-二元一次方程组解判定

本题导读

本题通过直线上的点构造二元一次方程组，考查方程组解的情况。核心在于利用系数行列式是否为零来判定唯一解、无解或无穷多解。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)）已知 $P_{1} (a_{1}, b_{1})$ 与 $P_{2} (a_{2}, b_{2})$ 是直线 $y = k x + 1$ （ $k$ 为常数）上两个不同的点，则关于 $x$ 和 $y$ 的方程组 ${a_{1} x + b_{1} y = 1, a_{2} x + b_{2} y = 1$ 的解的情况是 ()

A. 无论 $k, P_{1}, P_{2}$ 如何，总是无解.

B. 无论 $k, P_{1}, P_{2}$ 如何，总有唯一解.

C. 存在 $k, P_{1}, P_{2}$ ，使之恰有两解.

D. 存在 $k, P_{1}, P_{2}$ ，使之有无穷多解.

🔍【思路分析】

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转化已知条件：点 $P_{1}, P_{2}$ 在直线 $y = k x + 1$ 上，说明它们的坐标满足方程，即 $b_{1} = k a_{1} + 1$ ， $b_{2} = k a_{2} + 1$ 。

利用行列式判定：对于二元一次方程组，其解的情况取决于系数行列式 $D = a_{1} a_{2} b_{1} b_{2}$ 的值。

若 $D \neq = 0$ ，则有唯一解；

若 $D = 0$ ，则可能无解或有无穷多解。

计算与推导：将已知点坐标关系代入 $D$ 中进行化简。

得出结论：根据 $P_{1}, P_{2}$ 是不同点（即 $a_{1} \neq = a_{2}$ ）这一条件判断 $D$ 的正负性。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：列出点坐标满足的关系式因为 $P_{1}, P_{2}$ 在直线 $y = k x + 1$ 上，所以： $b_{1} = k a_{1} + 1$ $b_{2} = k a_{2} + 1$

第二步：计算方程组的系数行列式方程组的系数行列式为： $D = a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ 将第一步中的关系式代入： $D = a_{1} (k a_{2} + 1) - a_{2} (k a_{1} + 1)$ 展开并化简： $D = k a_{1} a_{2} + a_{1} - k a_{1} a_{2} - a_{2} = a_{1} - a_{2}$

第三步：判定解的情况由于 $P_{1}, P_{2}$ 是直线上的两个“不同”的点，它们的横坐标一定不相等（若横坐标相等，代入直线方程得到的纵坐标也必相等，则变为同一个点）。即 $a_{1} \neq = a_{2}$ ，故： $D = a_{1} - a_{2} \neq = 0$ 根据克莱姆法则（Cramer’s Rule），当系数行列式 $D \neq = 0$ 时，方程组总有唯一解。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二元一次方程组解的判定与二阶行列式的计算。

核心方法：代入消元思想。如果不用行列式，也可以通过两方程相减得出 $(a_{1} - a_{2}) x + (b_{1} - b_{2}) y = 0$ ，再代入 $b_{i}$ 的关系式推导。

避坑指南：注意“两个不同点”这一条件的隐含意义。在解析几何中，直线上的点互异等价于至少有一个坐标分量不相等。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 克莱姆法则、直线的参数方程。

结论推广: 若直线方程为 $y = k x + m$ （ $m \neq = 0$ ），该方程组依然总有唯一解；若 $m = 0$ （过原点），则 $D = a_{1} (k a_{2}) - a_{2} (k a_{1}) = 0$ ，此时方程组有无穷多解。

方法推广: 涉及参数的方程组解的讨论，首选行列式法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

2014-上海卷文-18 单-方程组解的判定

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2014-上海卷理-17 单-二元一次方程组解判定

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